Segundo Teorema de Minkowski

En matemáticas, el segundo teorema de Minkowski es un resultado en la geometría de los números sobre los valores tomados por una norma en un látice y el volumen de su célula fundamental.

Contexto

Sea K un cuerpo cerrado convexo centralmente simétrico de volumen positivo y finito en un espacio Euclídeo n-dimensional ℝⁿ. El gauge​ o funcional de Minkowski de distancia​​ g respecto a K está definido por

$g(x)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb {R} :x\in \lambda K\right\}.$

Conversamente, dada una norma g en ℝⁿ, definimos K como

${\textstyle K=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)\leq 1\right\}.}$

Sea Γ un látice, o enrejado en ℝⁿ. Los mínimos sucesivos de K o g en Γ están definidos dejanto que el k-ésimo mínimo sucesivo λ_k sea el ínfimo de los números λ tal que λK contiene k vectores linearmente independientes de Γ. Tenemos 0 < λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λ_n < ∞.

Enunciado

Los mínimos sucesivos satisfacen lo siguiente​​​

${\frac {2^{n}}{n!}}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right).$

Prueba

Una base de vectores linearmente independientes del enrejado b₁ , b₂ , ... b_n puede ser definida por g(b_j) = λ_j .

La cuota inferior se demuestra considerando el politopo convexo 2n con vértices en ±b_j/ λ_j , el cual tiene un interior contenido en K y un volumen que es 2n/n!λ₁ λ₂...λ_n veces un múltiplo entero de una célula primitiva del enrejado (lo cual puede verse escalando el politopo por un factor λ_j en la dirección de cada vector base para obtener 2ⁿ n-simplejos con vectores en el enrejado).

Para probar la cuota superior, consideremos las funciones f_j(x) que envían puntos x en ${\textstyle K}$ al centroide del subconjunto de puntos en ${\textstyle K}$ que puede ser escrito como ${\textstyle x+\sum _{i=1}^{j-1}a_{i}b_{i}}$ para algunos números reales ${\textstyle a_{i}}$. Entonces, la transformaciónd de coordenadas ${\textstyle x'=h(x)=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})f_{i}(x)/2}$ tiene un determinante jacobiano ${\textstyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{n}/2^{n}}$. Si ${\textstyle p}$ y ${\textstyle q}$ están en el interior de ${\textstyle K}$ y ${\textstyle p-q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}}$ (con ${\textstyle a_{k}\neq 0}$), entonces ${\textstyle (h(p)-h(q))=\sum _{i=0}^{k}c_{i}b_{i}\in \lambda _{k}K}$ con ${\textstyle c_{k}=\lambda _{k}a_{k}/2}$, donde la inclusión en ${\textstyle \lambda _{k}K}$ (específicamente el interior de ${\textstyle \lambda _{k}K}$) se debe a convexidad y simetría. Pero los puntos de enrejado en el interior de ${\textstyle \lambda _{k}K}$ son, por definición de ${\textstyle \lambda _{k}}$, siempre expresables como combinación lineal de ${\textstyle b_{1},b_{2},\ldots b_{k-1}}$, así que cualesquiera dos puntos distintos de ${\textstyle K'=h(K)=\lbrace x'|h(x)=x'\rbrace }$, estos no pueden ser separados por un vector del enrejado. Por tanto, ${\textstyle K'}$ tiene que estar encerrado en una célula primitiva del enrejado (la cual tiene volumen ${\textstyle {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$), y por consiguiente ${\textstyle {\text{vol}}(K)/J={\text{vol}}(K')\leq {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$.

Bibliografía

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• Cassels, J. W. S. (1997). An Introduction to the Geometry of Numbers. Classics in Mathematics (Reprint of 1971 edición). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-61788-4. 
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics 165. Springer-Verlag. pp. 180-185. ISBN 0-387-94655-1. 
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics 1467 (2nd edición). Springer-Verlag. p. 6. ISBN 3-540-54058-X. 
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Komaravolu S. Chandrasekharan, ed. Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag. ISBN 3-540-50629-2. 

• Datos: Q6867853