Principio de Hamilton modificado

El principio de Hamilton modificado es un principio variacional similar al principio de Hamilton, pero aplicado a la formulación hamiltoniana de la mecánica en vez de a la lagragiana.

Significado físico y formulación matemática

El principio de Hamilton modificado dice que en sistemas como los descritos anteriormente, usualmente llamados monógenos, el movimiento del sistema entre el tiempo $t1$ y $t2$ es tal que la integral de línea :

$\delta I=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt=0,$

que puede expresarse, mediante la transformada de Legendre en la siguiente expresión que emplea el hamiltoniano,

$\delta I=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}(p_{i}{\dot {q_{i}}}-H(q(t),p(t),t))dt=0,$

tiene un valor estacionario para el camino del movimiento correcto.

El principal interés del principio de Hamilton modificado es que a partir de él se pueden obtener las ecuaciones canónicas del movimiento [Goldstein, 2000:353,354] utilizando las 2n ecuaciones de Euler-Lagrange, siendo n los grados de libertad del sistema y equiparando $p_{i}{\dot {q_{i}}}-H(q(t),p(t),t)$ a una función $f(q,{\dot {q}},p,{\dot {p}},t)$ dependiente de las posiciones, los momentos y sus derivadas primeras.

$\delta I=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}f(q,{\dot {q}},p,{\dot {p}},t)dt=0,$

Se realiza el planteamiento de las ecuaciones de Euler-Lagrange,

${d \over dt}\left({\partial f \over \partial {\dot {q_{j}}}}\right)-{\partial f \over \partial q_{j}}=0;j=1,...,n$

${d \over dt}\left({\partial f \over \partial {\dot {p_{j}}}}\right)-{\partial f \over \partial p_{j}}=0;j=1,...,n$

De la primera de ellas se obtiene la ecuación canónica:

${\dot {p_{j}}}+{\partial H \over \partial q_{j}}=0,$

${\partial H \over \partial q_{j}}=-{\dot {p_{j}}}.$

mientras que de la segunda se obtiene:

${\dot {q_{j}}}-{\partial H \over \partial p_{j}}=0,$

${\partial H \over \partial p_{j}}={\dot {q_{j}}}.$

Referencias

• Goldstein, Herbert (2000). Classical Mechanics. New York: Addison-Wesley. 978-0201657029. 

• Datos: Q6086667