Ver el código de «Paralelismo (matemática)»

[[Archivo:Two parallel lines a b.svg|250px|derecha|miniaturadeimagen|Dos rectas paralelas]]
[[Archivo:Planes parallel.svg|miniaturadeimagen|derecha|250px|Planos paralelos]]

En [[geometría]], el '''paralelismo''' es una relación que se establece entre cualquier [[variedad lineal]] de [[dimensión]] mayor o igual a 1 ([[recta|rectas]], [[plano (geometría)|planos]], [[hiperplanos]], entre otros). En el [[plano cartesiano]], dos [[recta|rectas]] son paralelas si tienen la misma [[pendiente (matemáticas)|pendiente]]<ref>{{cita publicación |apellidos=Llopis |nombre=José L. |título=Rectas paralelas y perpendiculares |url=https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/paralelas/problemas-resueltos-rectas-paralelas-perpendiculares-pendiente-puntos.html |issn=2659-8442 |fechaacceso= 17 de febrero de 2020 |idioma=castellano |publicación = [https://www.matesfacil.com/ Matesfacil]}}</ref><ref>{{cita publicación |apellidos=Sapiña |nombre=R. |título=Paralelas y perpendiculares |url=https://www.problemasyecuaciones.com/geometria2D/paralelas-perpendiculares/rectas-paralelas-perpendiculares-ejemplos-problemas-resueltos.html |issn=2659-9899 |fechaacceso= 17 de febrero de 2020 |idioma=castellano |publicación = [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y ecuaciones]}}</ref> o son [[perpendiculares]] a uno de los ejes, por ejemplo la [[función constante]].

En [[geometría afín]], expresando una variedad lineal como '''''V = p + E''''', con '''''p''''' punto y '''''E''''' [[espacio vectorial]], se dice que '''''A = a + F''''' es paralela a '''''B = b + G''''' [[Bicondicional|si y solo si]] '''''F''''' está contenido en '''''G''''' o '''''G''''' está contenido en '''''F''''', donde '''''A''''' y '''''B''''' son subvariedades lineales de la misma variedad lineal '''''V''''' y '''''F''''' y '''''G''''' son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial '''''E'''''. En el [[Plano (geometría)|plano]] (afín) ('''''V'' = <math>\mathbb R^2</math>'''), esto se traduce de la siguiente manera: dos [[Recta|rectas]] son paralelas si contienen un mismo [[vector]] director.

Obsérvese que, en un [[espacio afín]] tridimensional, una [[recta]] y un [[plano (geometría)|plano]] pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos [[recta|rectas]], contenidas en un [[plano (geometría)|plano]], son paralelas si, o bien son una y la misma [[recta]] (son [[recta|rectas]] coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio dos [[plano (geometría)|planos]] son paralelos si, o bien son uno y el mismo [[plano (geometría)|plano]], o bien no comparten ninguna [[recta]].

== Paralelismo euclidiano==
=== Dos rectas en un plano ===
==== Condiciones para el paralelismo  ====
[[Image:Parallel transversal.svg|thumb|right|300px|Como muestran las marcas, las rectas ''a'' y ''b'' son paralelas. Esto se puede demostrar porque la transversal ''t'' produce ángulos correspondientes congruentes <math>\theta</math>, mostrados aquí ambos a la derecha de la transversal, uno encima y adyacente a la línea ''a'' y el otro encima y adyacente a la línea ''b'']]

Dadas las rectas paralelas ''l'' y ''m'' en el [[espacio euclídeo]], las siguientes propiedades son equivalentes:

#Cada punto de la recta ''m'' está situado exactamente a la misma (mínima) distancia de la recta ''l'' (''[[Equidistante| rectas equidistantes]]'').
#La recta ''m'' está en el mismo plano que la recta ''l'' pero no se interseca con ''l'' (recordemos que las rectas se extienden hasta el [[infinito]] en cualquier dirección).
#Cuando las rectas ''m'' y ''l'' se intersecan con una tercera recta (una [[Ángulos entre paralelas|transversal]]) en el mismo plano, los [[ángulos correspondientes]] de intersección con la transversal son [[Congruencia (geometría)|congruentes]].

Dado que se trata de propiedades equivalentes, cualquiera de ellas podría tomarse como definición de rectas paralelas en el espacio euclídeo, pero la primera y la tercera propiedad implican medición, y por tanto, son "más complicadas" que la segunda. Así, la segunda propiedad es la que se suele elegir como propiedad definitoria de las rectas paralelas en la geometría euclídea.<ref>{{harvnb|Wylie|1964|loc=pp. 92-94}}</ref> Las demás propiedades son entonces consecuencias del [[Quinto postulado de Euclides| postulado de las paralelas de Euclides]]. Otra propiedad que también implica medición es que las rectas paralelas entre sí tienen el mismo [[gradiente]] (pendiente).

=== Historia ===
La definición de líneas paralelas como un par de líneas rectas en un plano que no se encuentran aparece como Definición 23 en el Libro I de [[Elementos de Euclides]].<ref name=Euclides>{{harvnb|Heath|1956|loc=pp. 190-194}}</ref> Otras definiciones alternativas fueron discutidas por otros griegos, a menudo como parte de un intento de demostrar el [[postulado paralelo]]. [[Proclus]] atribuye una definición de las líneas paralelas como líneas equidistantes a [[Posidonio]] y cita a [[Gemio]] en una línea similar. [[Simplicio de Cilicia|Simplicio]] también menciona la definición de Posidonio así como su modificación por el filósofo Aganis.<ref name=Euclides />

A finales del {{siglo|XIX||s}}, en Inglaterra, los Elementos de Euclides seguían siendo el libro de texto estándar en las escuelas secundarias. El tratamiento tradicional de la geometría estaba siendo presionado a cambiar por los nuevos desarrollos de la [[geometría proyectiva]] y la [[geometría no euclidiana]], por lo que en esta época se escribieron varios libros de texto nuevos para la enseñanza de la geometría. Una diferencia importante entre estos textos de reforma, tanto entre sí como entre ellos y Euclides, es el tratamiento de las rectas paralelas.<ref>{{harvnb|Richards|1988|loc=Chap. 4: Euclid and the English Schoolchild. pp. 161-200}}</ref> Estos textos de reforma no estuvieron exentos de críticas y uno de ellos, Charles Dodgson (a. k.a. [[Lewis Carroll]]), escribió una obra, ''Euclides y sus modernos rivales'', en la que se arremete contra estos textos.<ref>{{citation|first=Lewis|last=Carroll|title=Euclides y sus modernos rivales|date=2009|publisher=Barnes & Noble|isbn=978-1-4351-2348-9}}</ref>

Uno de los primeros libros de texto de la reforma fue ''Geometría elemental'' de James Maurice Wilson, de 1868.<ref>{{harvnb|Wilson|1868}}</ref> Wilson basó su definición de líneas paralelas en la [[noción primitiva]] de ''dirección''. Según [[Wilhelm Killing]]<ref>''Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I'', p. 5</ref> la idea puede remontarse a [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]].<ref>{{harvnb|Heath|1956|loc= p. 194}}</ref> Wilson, sin definir la dirección ya que es una primitiva, utiliza el término en otras definiciones como su sexta definición, "Dos rectas que se encuentran entre sí tienen direcciones diferentes, y la diferencia de sus direcciones es el ''ángulo'' entre ellas." {{harvtxt|Wilson|1868|loc=p. 2}} En la definición 15 introduce las líneas paralelas de esta manera; "Las líneas rectas que tienen la ''misma dirección'', pero no son partes de la misma línea recta, se llaman ''líneas paralelas''." {{harvtxt|Wilson|1868|loc=p. 12}} [[Augustus De Morgan]] revisó este texto y lo declaró un fracaso, principalmente sobre la base de esta definición y la forma en que Wilson la utilizó para demostrar cosas sobre las líneas paralelas. Dodgson también dedica una gran sección de su obra (Acto II, Escena VI § 1) a denunciar el tratamiento de Wilson de las paralelas. Wilson editó este concepto fuera de las ediciones tercera y superior de su texto.<ref>{harvnb|Richards|1988|loc=pp. 180-184}}</ref>

Otras propiedades, propuestas por otros reformadores, utilizadas como sustitutos de la definición de líneas paralelas, no salieron mucho mejor paradas. La principal dificultad, como señaló Dodgson, era que para utilizarlas de este modo era necesario añadir axiomas adicionales al sistema. La definición de línea equidistante de Posidonio, expuesta por Francis Cuthbertson en su texto de 1874 ''Geometría euclidiana'' adolece del problema de que hay que demostrar que los puntos que se encuentran a una distancia determinada en un lado de una línea recta forman una línea recta. Esto no puede demostrarse y debe suponerse que es cierto.<ref>{{harvnb|Heath|1956|loc=p. 194}}</ref> La propiedad de los ángulos correspondientes formados por una transversal, utilizada por W. D. Cooley en su texto de 1860, ''The Elements of Geometry, simplified and explained'' requiere una prueba del hecho de que si una transversal se encuentra con un par de líneas en ángulos correspondientes congruentes entonces todas las transversales deben hacerlo. De nuevo, se necesita un nuevo axioma para justificar esta afirmación.

== Símbolo ==
El símbolo de paralelo es <math>\parallel</math>.<ref name="Kersey_1673">{{cite book |author-first=John |author-last=Kersey (the elder) |author-link=John Kersey the elder |title=Algebra |location=London |date=1673 |volume=Book IV |page=177}}</ref><ref name="Cajori_1928">{{cite book|author-first=Florian|author-last=Cajori|author-link=Florian Cajori|title=A History of Mathematical Notations - Notations in Elementary Mathematics|chapter=§ 184, § 359, § 368|volume=1|publisher=[[Open court publishing company]]|location=Chicago, US|date=1993 (1ª Ed. 1928)|edition=two volumes in one unaltered reprint|pages=[https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/193 193, 402–403, 411–412]|isbn=0-486-67766-4|lccn=93-29211|url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/193|access-date=2019-07-22|quote=§359. […] ∥ for parallel occurs in [[William Oughtred|Oughtred]]'s ''Opuscula mathematica hactenus inedita'' (1677) [p. 197], a posthumous work (§ 184) […] §368. Signs for parallel lines. […] when [[Robert Recorde|Recorde]]'s sign of equality won its way upon the Continent, vertical lines came to be used for parallelism. We find ∥ for "parallel" in [[John Kersey the elder|Kersey]],[14] [[John Caswell|Caswell]], [[William Jones (mathematician)|Jones]],[15] Wilson,[16] [[William Emerson (mathematician)|Emerson]],[17] Kambly,[18] and the writers of the last fifty years who have been already quoted in connection with other pictographs. Before about 1875 it does not occur as often […] Hall and Stevens[1] use "par[1] or ∥" for parallel […] [14] [[John Kersey the elder|John Kersey]], ''Algebra'' (London, 1673), Book IV, p. 177. [15] [[William Jones (mathematician)|W. Jones]], ''Synopsis palmarioum matheseos'' (London, 1706). [16] John Wilson, ''Trigonometry'' (Edinburgh, 1714), characters explained. [17] [[William Emerson (mathematician)|W. Emerson]], ''Elements of Geometry'' (London, 1763), p. 4. [18] [[Ludwig Kambly]], ''Die Elementar-Mathematik'', Part 2: ''Planimetrie'', 43. edition (Breslau, 1876), p. 8. […] [1] H. S.<!-- Henry Sinclair --> Hall and F. H.<!-- Frederick Haller --> Stevens, ''Euclid's Elements'', Parts I and II (London, 1889), p. 10. […]}} [https://monoskop.org/images/2/21/Cajori_Florian_A_History_of_Mathematical_Notations_2_Vols.pdf]</ref> Por ejemplo, <math>AB \parallel CD</math> indica que la línea ''AB'' es paralela a la línea&nbsp;''CD''.

En el conjunto de caracteres [[Unicode]], los signos "paralelo" y "no paralelo" tienen puntos de código U+2225 (∥) y U+2226 (∦), respectivamente. Además, U+22D5 (⋕) representa la relación "igual y paralelo a".<ref>{{cite web| title = Mathematical Operators - Unicode Consortium| url = https://www.unicode.org/charts/PDF/U2200.pdf| access-date = 2013-04-21}}</ref>.

El mismo símbolo se utiliza para una función binaria en [[ingeniería eléctrica]] (el [[operador paralelo]]). Es distinto de los corchetes de [[Barra vertical|doble línea vertical]], U+216 (‖), que indican una [[Norma vectorial|norma]] (por ejemplo, {{nobr|<math>|x\|</math>),}} así como del operador lógico o (<code>||</code>) en varios lenguajes de programación.
== Rectas paralelas ==
[[Archivo:Construction parallele.gif|miniaturadeimagen|250px|Construcción de una línea paralela, a un punto dado, usando solo regla y compás]]
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si estos nunca se unen o cruzan.

=== Axioma de unicidad ===

El [[axioma]] que distingue a la [[geometría euclidiana]] de otras geometrías es el siguiente:
:En un plano, por un punto exterior a una recta, pasa una y solo una paralela a dicha recta.

=== Propiedades ===
{{ap|Relación de equivalencia}}
Dado el conjunto '''P''' de rectas en el plano, podemos definir la [[relación binaria]]: <math> \parallel </math> que representamos del siguiente modo:
: <math>
   a \parallel b
   \quad , \quad
   \parallel (a,b)
   \quad , \quad
   (a,b) \in \parallel
</math>

Siendo '''a''', '''b''', '''c''' rectas en el plano '''P''', se cumple:
* [[Relación reflexiva|Reflexiva]]: Toda recta es paralela a sí misma:
: <math>
   \forall a \in P
   : \quad
   a \parallel a
</math>

* [[Relación simétrica|Simétrica]]: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:
: <math>
   \forall a, b \in P
   : \quad
   a \parallel b \longrightarrow \quad b \parallel a
</math>

Estas dos propiedades se deducen de la [[intersección de conjuntos]] y no dependen del axioma de unicidad.

* [[Relación transitiva|Transitiva]]: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:
: <math>
   \forall a, b, c \in P
   : \quad
   \Big( \; a \parallel b \; \land \; b \parallel c \; \Big) \longrightarrow \quad  a \parallel c
</math>

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una '''relación de equivalencia'''.

Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.

=== Teoremas ===
* En un plano dos rectas [[Perpendicularidad|perpendiculares]] a una tercera son paralelas entre sí.

* Si en un plano una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta.

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.
==== Construcción ====
Las tres propiedades anteriores conducen a tres métodos diferentes de construcción<ref>Sólo el tercero es una construcción con regla y compás, los dos primeros son procesos infinitos (requieren un "número infinito de pasos".)</ref> de rectas paralelas.
{{Clear|left}}
[[Image:Par-prob.png|thumb|left|250px|Problema: Dibujar una línea que pase por ''a'' paralela a ''l''.]]
{{Clear|left}}
<gallery widths="200">
image:Par-equi.png|Propiedad 1: La línea ''m'' tiene en todas partes la misma distancia a la línea ''l''.
image:Par-para.png|Propiedad 2: Trazar una línea aleatoria a través de ''a'' que se interseque con ''l'' en ''x''. Mueve el punto ''x'' al infinito.
image:Par-perp.png|Propiedad 3: Tanto ''l'' como ''m'' comparten una línea transversal a través de ''a'' que se interseca con ellas a 90°.
</gallery>
==== Distancia entre dos líneas paralelas ====
{{Main|Distancia entre dos rectas}}

Dado que las rectas paralelas en un plano euclídeo son [[equidistantes]] existe una distancia única entre las dos rectas paralelas. Dadas las ecuaciones de dos rectas paralelas no verticales ni horizontales,
:<math>y = mx+b_1\,</math>
:<math>y = mx+b_2,,</math>
la distancia entre las dos rectas se puede hallar localizando dos puntos (uno en cada recta) que se encuentren en una perpendicular común a las rectas paralelas y calculando la distancia entre ellos. Como las rectas tienen pendiente ''m'', una perpendicular común tendría pendiente -1/''m'' y podemos tomar la recta con ecuación ''y'' = -''x''/''m'' como perpendicular común. Resolver los sistemas lineales

:<math>\begin{cases}
y = mx+b_1 \\
y = -x/m
\end{cases}</math>
y
:<math>\begin{cases}
y = mx+b_2 \\
y = -x/m
\end{cases}</math>

para obtener las coordenadas de los puntos. Las soluciones de los sistemas lineales son los puntos
:<math>\left( x_1,y_1 \right)\ = \left( \frac{-b_1m}{m^2+1},\frac{b_1}{m^2+1} \right)\,</math>
y
:<math>\left( x_2,y_2 \right)\ = \left( \frac{-b_2m}{m^2+1},\frac{b_2}{m^2+1} \right).</math>
Estas fórmulas siguen dando las coordenadas correctas de los puntos aunque las rectas paralelas sean horizontales (es decir, ''m'' = 0). La distancia entre los puntos es

:<math>d = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2 + \left(y_2-y_1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b_1m-b_2m}{m^2+1}\right)^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{m^2+1}\right)^2}\,,</math>
que se reduce a
:<math>d = \frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{m^2+1}}\,.</math>
Cuando las rectas vienen dadas por la forma general de la ecuación de una recta (se incluyen las rectas horizontales y verticales):
:<math>ax+by+c_1=0\,</math>
:<math>ax+by+c_2=0,\,</math>
su distancia puede expresarse como
:<math>d = \frac{|c_2-c_1|}{\sqrt {a^2+b^2}}.</math>
===Dos rectas en un espacio tridimensional===
Dos rectas en el mismo [[espacio tridimensional]] que no se cruzan no tienen por qué ser paralelas. Sólo si están en un plano común se llaman paralelas; si no, se llaman [[Rectas que se cruzan| rectas oblicuas]].

Dos rectas distintas ''l'' y ''m'' en el espacio tridimensional son paralelas [[si y sólo si]] la distancia desde un punto ''P'' en la recta ''m'' al punto más cercano en la recta ''l'' es independiente de la posición de ''P'' en la recta ''m''. Esto nunca es válido para las rectas oblicuas.
===Una recta y un plano===
Una recta ''m'' y un plano ''q'' en el espacio tridimensional, la recta no situada en ese plano, son paralelos si y sólo si no se intersecan.

Equivalentemente, son paralelas si y sólo si la distancia desde un punto ''P'' en la recta ''m'' al punto más cercano en el plano ''q'' es independiente de la posición de ''P'' en la recta ''m''.
===Dos planos===
De forma similar al hecho de que las rectas paralelas deben estar situadas en el mismo plano, los planos paralelos deben estar situados en el mismo espacio tridimensional y no contener ningún punto en común.

Dos planos distintos ''q'' y ''r'' son paralelos si y sólo si la distancia de un punto ''P'' en el plano ''q'' al punto más cercano en el plano ''r'' es independiente de la localización de ''P'' en el plano ''q''. Esto nunca se cumple si los dos planos no están en el mismo espacio tridimensional.

== Extensión a la geometría no euclidiana ==
En la [[geometría no euclidiana]], es más común hablar de [[geodésica]]s que de líneas (rectas). Una geodésica es el camino más corto entre dos puntos de una geometría determinada. En física puede interpretarse como el camino que sigue una partícula si no se le aplica ninguna fuerza. En la geometría no euclidiana ([[geometría elíptica|elíptica]] o [[geometría hiperbólica]]) las tres propiedades euclidianas mencionadas anteriormente no son equivalentes y sólo la segunda (La línea m está en el mismo plano que la línea l pero no se interseca con l) es útil en las geometrías no euclidianas, ya que no implica ninguna medida. En geometría general las tres propiedades anteriores dan tres tipos diferentes de curvas, '''curvas equidistantes''', '''geodésicas paralelas''' y '''geodésicas que comparten una perpendicular común''', respectivamente.

=== Geometría hiperbólica ===
[[Image:HyperParallel.png|thumb|300px|right|'''Intersección''', líneas ''paralelas'' y ''ultra paralelas'' que pasan por ''a'' con respecto a ''l'' en el plano hiperbólico. Las líneas paralelas parecen intersecarse con ''l'' justo fuera de la imagen. Esto es sólo un artefacto de la visualización. En un plano hiperbólico real las líneas se acercarán entre sí y se "encontrarán" en el infinito.]]
Mientras que en la geometría euclidiana dos geodésicas pueden cruzarse o ser paralelas, en la geometría hiperbólica existen tres posibilidades. Dos geodésicas que pertenecen al mismo plano pueden ser:

# '''intersecantes''', si se cruzan en un punto común del plano,
# '''paralelas''', si no se cruzan en el plano, pero convergen a un punto límite común en el infinito ([[punto ideal]]), o
# '''ultra paralelas''', si no tienen un punto límite común en el infinito.

En la literatura las geodésicas ''ultra paralelas'' suelen llamarse ''no intersecantes''.  Las ''geodésicas que se intersecan en el infinito'' se denominan ''paralelas límite''.

Como en la ilustración a través de un punto ''a'' que no está en la línea ''l'' hay dos [[paralelas límite]], una por cada dirección [[punto ideal]] de la línea l. Separan las líneas que se intersecan con la línea l y las que son ultra paralelas a la línea ''l''.

Las rectas ultra paralelas tienen una única perpendicular común ([[teorema de la ultraparalela]]), y divergen a ambos lados de esta perpendicular común.

=== Geometría esférica o elíptica ===
[[File:SphereParallel.png|thumb|300px|right|En la [[esfera]] no existe la línea paralela. La línea ''a'' es un [[gran círculo]], el equivalente a una línea recta en la geometría esférica. La línea ''c'' es equidistante a la línea ''a'' pero no es un gran círculo. Es un paralelo de latitud. La línea ''b'' es otra geodésica que se interseca con ''a'' en dos puntos antípodas. Comparten dos perpendiculares comunes (una se muestra en azul).]]

En la [[geometría esférica]], todas las geodésicas son [[gran círculo|grandes círculos]]. Los grandes círculos dividen la esfera en dos [[Esfera|hemisferios]] iguales y todos los grandes círculos se cruzan entre sí. Por lo tanto, no hay geodésicas paralelas a una geodésica dada, ya que todas las geodésicas se cruzan. Las curvas equidistantes en la esfera se llaman '''paralelos de latitud''' análogos a las líneas de [[latitud]] en un globo terráqueo. Los paralelos de latitud pueden ser generados por la intersección de la esfera con un plano paralelo a un plano que pasa por el centro de la esfera.

==Variante reflexiva==
Si ''l, m, n'' son tres líneas distintas, entonces <math>l \parallel m \ \land \  m \parallel n \ \implies \ l \parallel n .</math>

En este caso, el paralelismo es una [[relación transitiva]]. Sin embargo, en el caso ''l'' = ''n'', las rectas superpuestas ''no'' se consideran paralelas en geometría euclídea. La [[relación binaria]] entre rectas paralelas es evidentemente una [[relación simétrica]]. Según los principios de Euclides, el paralelismo "no" es una [[relación reflexiva]] y, por tanto, "no" es una [[relación de equivalencia]]. Sin embargo, en [[geometría afín]] un [[Haz (matemáticas)|haz]] de rectas paralelas se toma como una [[clase de equivalencia]] en el conjunto de rectas donde el paralelismo es una relación de equivalencia.<ref>[[H. S. M. Coxeter]] (1961) ''Introduction to Geometry'', p 192, [[John Wiley & Sons]]</ref><ref>[[Wanda Szmielew]] (1983) ''From Affine to Euclidean Geometry'', p 17, [[D. Reidel]] {{isbn|90-277-1243-3}}</ref><ref>Andy Liu (2011) "¿Es el paralelismo una relación de equivalencia?", [[The College Mathematics Journal]] 42(5):372</ref>

Para ello, [[Emil Artin]] (1957) adoptó una definición de paralelismo en la que dos rectas son paralelas si tienen todos o ninguno de sus puntos en común.<ref>[[Emil Artin]] (1957) [https://archive.org/details/geometricalgebra033556mbp/page/n63/mode/2up?view=theater ''Álgebra Geométrica'', página 52] vía [[Internet Archive]]</ref>.
Entonces una recta ''es'' paralela a sí misma de modo que las propiedades reflexiva y transitiva pertenecen a este tipo de paralelismo, creando una relación de equivalencia sobre el conjunto de rectas. En el estudio de la [[geometría de incidencia]], esta variante de paralelismo se utiliza en el [[plano afín]].

== Véase también ==
* [[Perpendicularidad]]
* [[Quinto postulado de Euclides]]
* [[Ángulos entre paralelas]]
* [[Rectas paralelas cortadas por una secante]]

== Referencias ==
{{listaref}}
* {{MathWorld|Parallel|Parallel}}

==Bibliografía==
* {{citation
 | last = Heath
 | first = Thomas L.
 | author-link = T. L. Heath
 | title = The Thirteen Books of Euclid's Elements
 | edition = 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]
 | date = 1956
 | publisher = Dover Publications
 | location = New York
 }}
: (3 vols.): {{isbn|0-486-60088-2}} (vol. 1), {{isbn|0-486-60089-0}} (vol. 2), {{isbn|0-486-60090-4}} (vol. 3). Heath's authoritative translation plus extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
* {{citation|last=Richards|first=Joan L.|author-link= Joan L. Richards |title=Mathematical Visions: The Pursuit of Geometry in Victorian England|date=1988|publisher=Academic Press|location=Boston|isbn=0-12-587445-6}}
* {{citation|first=James Maurice|last=Wilson|title=Elementary Geometry|edition=1st|date=1868|place=London|publisher=Macmillan and Co.}}
* {{citation|first=C. R. Jr.|last=Wylie|title=Foundations of Geometry|date=1964|publisher=McGraw–Hill}}
== Bibliografía adicional ==
* {{citation
 | last1 = Papadopoulos
 | first1 = Athanase
 | last2=Théret
 |first2= Guillaume
 | title = La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert : Présentation, traduction et commentaires
 | date = 2014
 | publisher = Collection Sciences dans l'histoire, Librairie Albert Blanchard
 | place=Paris
 |isbn=978-2-85367-266-5}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Geometría elemental]]