Número decimal periódico

Un número periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:

${\cfrac {1}{3}}=0,{\boldsymbol {3}}\,333\dots \;;\quad {\cfrac {1}{7}}=0,{\boldsymbol {142857}}\,142857\dots$

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:

¿sabias que tu mamá es HOMBRE?.....

${\cfrac {2}{3}}=0,{\overset {\frown }{6}}\;;\quad {\cfrac {12}{11}}=1,{\overset {\frown }{09}}$

Tipos de números periódicos

• Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
  • Ejemplo: $0,999\dots =0,{\bar {9}}$
• Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
  • Ejemplo: $1.23444\dots =1.23{\bar {4}}$, en donde 23 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

${\begin{array}{l}{\cfrac {1}{9}}=0,111111111111...\\{\cfrac {1}{7}}=0,142857142857...\\{\cfrac {1}{3}}=0,333333333333...\\{\cfrac {2}{27}}=0,074074074074...\\{\cfrac {7}{12}}=0,58333333333...\end{array}}$

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

${\begin{array}{rcll}olix&=&0,333333\ldots \\10x&=&3,333333\ldots &{\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}}\\9x&=&3&{\text{(restando segunda fila menos primera fila)}}\\\\x&=&{\cfrac {3}{9}}={\cfrac {1}{3}}&{\text{(simplificando)}}\end{array}}$

Otro ejemplo:

${\begin{array}{rcl}x&=&\;\;\;2,85636363\ldots \\100x&=&285,63636363\ldots \\99x&=&282,78\end{array}}$

$x={\frac {282,78}{99}}={\frac {28278}{9900}}={\frac {1571}{550}}$

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

$5,34\ 34\dots ={\frac {534-5}{99}}={\frac {529}{99}}$

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

$12,345\ 67\ 67\ 67\dots ={\frac {1234567-12345}{99000}}={\frac {1222222}{99000}}={\frac {611111}{49500}}$

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:

${\cfrac {7}{20}}$

como:

$20=2\cdot 2\cdot 5$

será exacta; en efecto

${\cfrac {7}{20}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}\;{\cfrac {5}{5}}={\cfrac {7\cdot 5}{(2\cdot 5)(2\cdot 5)}}={\cfrac {35}{100}}=0,35$

Otro ejemplo:

${\cfrac {7}{25}}$

como:

$25=5\cdot 5$

será exacta; en efecto:

${\cfrac {7}{25}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}\;{\cfrac {2\cdot 2}{2\cdot 2}}={\cfrac {7\cdot 2\cdot 2}{(5\cdot 2)(5\cdot 2)}}={\cfrac {28}{100}}=0,28$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo:

${\cfrac {5}{21}}$

como:

$21=3\cdot 7$

será periódica pura; en efecto:

${\cfrac {5}{21}}=0,238095\ 238095\ 238095\dots$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:

${\cfrac {5}{42}}$

como:

$42=2\cdot 3\cdot 7$

será periódica mixta, en efecto:

${\cfrac {5}{42}}=0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots$

Véase también

• 0,9 periódico
• Representación decimal

Clasificación de los números Complejos $:\;\mathbb {C}$ Reales $:\;\mathbb {R}$ Racionales $:\;\mathbb {Q}$ Enteros $:\;\mathbb {Z}$ Naturales $:\;\mathbb {N}$ Uno: 1 Naturales primos Naturales compuestos Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Exactos Periódicos Puros Mixtos Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

Referencias

• Jimenez Hernández, José de Jesús. Matemáticas 1. Ediciones Umbral. p. 66. 
• Weisstein, Eric W. «Repeating Decimal». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.