Número primo de Ramanujan

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En matemáticas, un primo de Ramanujan es un número primo que satisface el resultado demostrado por Srinivasa Ramanujan relativo a la función contador de números primos.

Orígenes y definición[editar]

En 1919, Ramanujan publicó una nueva prueba del postulado de Bertrand, demostrado por primera vez por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821-1894).[1]​ Al final de las dos páginas del documento publicado, Ramanujan deduce el siguiente resultado generalizado:

(véase: A104272)

donde es la función contador de números primos, igual a la cantidad de números primos menores o iguales a x.

El inverso de este resultado es la definición de los números primos de Ramanujan:

El enésimo primo de Ramanujan es el menor entero Rn para el que para todo xRn[2]
En otras palabras: los números primos de Ramanujan son los menores enteros Rn para los que hay al menos n primos entre x y x/2 para todo xRn.

Los cinco primeros números primos de Ramanujan son entonces: 2, 11, 17, 29, y 41.

Téngase en cuenta que el número entero Rn es necesariamente un número primo, dado que: y, por lo tanto, debe aumentar mediante la obtención de otro primo en x = Rn. Desde puede aumentar como máximo en 1,

Límites y fórmula asintótica[editar]

Para todo , se fijan los límites

Si , entonces también

donde pn es el enésimo número primo.

Cuando n tiende a infinito, Rn es asintótico respecto al primo 2enésimo, por ejemplo,

Rn ~ p2n (n → ∞).

Todos estos resultados fueron probados por Sondow (2009),[3]​ excepto para el límite superior Rn < p3n que fue conjeturado por él y probado por Laishram (2010).[4]​ El valor de contorno fue mejorada por Sondow, Nicholson, y Noe (2011)[5]​ hasta convertirse en la expresión:

forma óptima para Rnc·p3n que se convierte en una igualdad para n = 5.

En una dirección diferente, Axler[6]​ demostró que

es óptima para t > 48/19, donde es la función techo.

Una mejora adicional de los valores de contorno superiores fue llevada a cabo a finales de 2015 por Anitha Srinivasan y John W. Nicholson.[7]​ Demostró que si

a continuación, para todo , donde es la función suelo. Para valores grandes de n, el valor de contorno es más pequeño y por lo tanto mejor que para cualquier constante fijada .

Generalización de los primos de Ramanujan[editar]

Dada una constante c entre 0 y 1, el enésimo c-primo de Ramanujan es definido como el menor entero Rc,n con la propiedad de que para cualquier entero x ≥ Rc,n haya al menos n primos entre cx y x, esto es, . En particular, cuando c = 1/2, el enésimo 1/2-primo de Ramanujan es igual al enésimo primo de Ramanujan: R0.5,n = Rn.

Para c = 1/4 y 3/4, la secuencia de c-primo de Ramanujan comienza como

R0.25,n = 2, 3, 5, 13, 17, ... A193761,
R0.75,n = 11, 29, 59, 67, 101, ... A193880.

Es sabido[8]​ que, para todo n y c, el enésimo c-primo de Ramanujan Rc,n existe y es en efecto primo. También, cuando n tiende a infinito, Rc,n es asintótico en relación con pn/(1 − c)

Rc,n ~ pn/(1 − c) (n → ∞)

donde pn/(1 − c) es el n/(1 − c)ésimo primo y es la función suelo.

Corolario de los primos de Ramanujan[editar]

es decir, pk es el késimo primo y el nésimo primo de Ramanujan.

Esto es muy útil para demostrar que el número de números primos en el rango [pk, 2pin] es mayor que o igual a 1. Teniendo en cuenta el tamaño de los huecos entre los números primos en [pin,pk], puede verse que el hueco promedio entre primos es de ln(pk) usando la aproximación siguiente: Rn/(2n) ~ ln(Rn).

Prueba del Corolario:

Si pi > Rn, entonces pi es impar y pi − 1 ≥ Rn, y por lo tanto π(pi − 1) − π(pi/2) = π(pi − 1) − π((pi − 1)/2) ≥ n.
Así pi − 1 ≥ pi−1 > pi−2 > pi−3 > ... > pin > pi/2, y por lo tanto 2pin > pi.

Un ejemplo de este corolario:

Con n = 1000, Rn = pk = 19403, y k = 2197, entonces i ≥ 2198 y in ≥ 1198. El menor i − n primo es pin = 9719, y por lo tanto 2pin = 2 × 9719 = 19438. El 2198ésimo primo, pi, está comprendido entre pk = 19403 y 2pin = 19438 y es 19417.

El lado izquierdo del Primer Corolario de Ramanujan es la secuencia de números A168421; el menor primo en el lado derecho figura en A168425. La secuencia A165959 es el rango del menor primo mayor que pk. Los valores de aparecen en la secuencia A179196.

El Primer Corolario Ramanujan es debido a John Nicholson.

El lema de Srinivasa[9]​ establece que pkn < pk/2 si Rnpk y  n > 1. Prueba: Por la minimalidad de Rn, el intervalo (pk/2,pk] contiene exactamente n primos y por lo tanto pkn < pk/2.

Referencias[editar]

  1. Ramanujan, S. (1919), «A proof of Bertrand's postulate», Journal of the Indian Mathematical Society 11: 181-182 
  2. Jonathan Sondow. «Ramanujan Prime». Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  3. Sondow, J. (2009), «Ramanujan primes and Bertrand's postulate», Amer. Math. Monthly 116 (7): 630-635, arXiv:0907.5232, doi:10.4169/193009709x458609 
  4. Laishram, S. (2010), «On a conjecture on Ramanujan primes», International Journal of Number Theory 6 (8): 1869-1873, doi:10.1142/s1793042110003848  (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial y la última versión)..
  5. Sondow, J.; Nicholson, J.; Noe, T.D. (2011), «Ramanujan primes: bounds, runs, twins, and gaps», Journal of Integer Sequences 14: 11.6.2, Bibcode:2011arXiv1105.2249S, arXiv:1105.2249 
  6. Axler, Christian (2014). «On generalized Ramanujan primes». The Ramanujan Journal 39 (2016): 1. arXiv:1401.7179. doi:10.1007/s11139-015-9693-9. 
  7. Srinivasan, Anitha; Nicholson, John (2015). «An Improved Upper Bound For Ramanujan Primes». Integers 15. 
  8. Amersi, N.; Beckwith, O.; Miller, S.J.; Ronan, R.; Sondow, J. (2011), Generalized Ramanujan primes, arXiv:1108.0475 
  9. Srinivasan, Anitha (2014), «An upper bound for Ramanujan primes», Integers 14