Método de Cardano

El método de Cardano es un método para resolver analíticamente cualquier ecuación cúbica y que apareció por primera vez en el libro Ars Magna en 1545 publicado por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), aunque se dice que fue desarrollado originalmente por los matemáticos italianos Scipione del Ferro (1465-1526) y Niccolò Fontana (1500-1557), éste último apodado Tartaglia (que significa tartamudo). El método es el siguiente.

Estrategia general del método

La ecuación general de tercer grado

$Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$

con números reales $A,B,C,D$ y $A\neq 0$ se puede convertir en la forma normal dividiendo por $A$ y acomodando términos, con lo que queda:

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

Sustituyendo $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

$z^{3}+pz+q=0,$

con lo cual,

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$   y   $q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c.$

La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver por el método de Cardano, y deshaciendo la sustitución inicial $x=z-{\tfrac {a}{3}}$, las soluciones de la ecuación original.

Resolución

Partiendo de la ecuación

$z^{3}+pz+q=0\,$

se realiza una sustitución del tipo $z=u+v$.Entonces

$z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}.$

Para hacer la equivalencia de coeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:

${\begin{cases}-p=3uv\\-q=u^{3}+v^{3}\end{cases}}$

que también es equivalente al sistema de ecuaciones $u^{3}+v^{3}=-q$ y $u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$. Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète, $u^{3}$ y $v^{3}$ son las soluciones de la ecuación de segundo grado

$z^{2}+qz-{\frac {p^{3}}{27}}=0.$

De esta manera, se calcula el discriminante $\Delta =q^{2}+{\frac {4}{27}}p^{3}\,$ y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.

Si Δ es positivo

La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que

$u={\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta }}}{2}}}\quad {\mbox{y}}\quad v={\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta }}}{2}}}.$

La única solución real es entonces $z_{0}=u+v\,$. Además, existen dos soluciones complejas conjugadas :

${\begin{cases}z_{1}=ju+{\bar {j}}v\\z_{2}=j^{2}u+{\overline {j^{2}}}v\end{cases}}\qquad \mathrm {donde} \qquad j=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}\qquad {\text{y}}\qquad j^{2}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {4\pi }{3}}}.$

Si Δ es cero

La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :

${\begin{cases}z_{0}=2{\sqrt[{3}]{\frac {-q}{2}}}=-2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}={\frac {3q}{p}}\\z_{1}=z_{2}=-{\sqrt[{3}]{\frac {-q}{2}}}={\sqrt {\frac {-p}{3}}}={\frac {-3q}{2p}}\end{cases}}$

Si Δ es negativo

La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados $j^{k}u\,$ y ${\overline {j^{k}u}}$ donde ^{$u={\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2}}}$} y $k\in \{0,1,2\}\,$; es el siguiente conjunto :

${\begin{cases}z_{0}=u+{\bar {u}}\\z_{1}=ju+{\overline {ju}}\\z_{2}=j^{2}u+{\overline {j^{2}u}}\end{cases}}$

La forma real de las soluciones se obtiene escribiendo $j^{k}u$ en forma trigonométrica, obteniéndose :

$z_{k}=2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cos {\left({\frac {1}{3}}\arccos {\left({\frac {-q}{2}}{\sqrt {\frac {27}{-p^{3}}}}\right)}+{\frac {2k\pi }{3}}\right)}\qquad {\mbox{ con }}\qquad k\in \{0,1,2\}.$

Aplicaciones del método de Cardano

El método de Cardano sirve para resolver cualquier ecuación cúbica que se presente en cualquier área de las Ciencias como, por ejemplo, para resolver las ecuaciones cúbicas de estado que aparecen en la termodinámica y la fisicoquímica, donde las tres raíces son válidas matemáticamente,pero sólo dos de ellas son válidas físicamente, pues la de menor magnitud, si es que se ha desarrollado la ecuación cúbica en el volumen molar, representa el volumen molar de líquido, mientras que la mayor representa el volumen molar de vapor y la raíz intermedia en magnitud no tiene significado físico. Las mismas interpretaciones se hacen si las ecuaciones se desarrollan cúbicas en el factor de compresibilidad, denotado como Z.

Véase también

• Ecuación de tercer grado
• Gerolamo Cardano
• Scipione del Ferro
• Tschirnhaus
• Niccolò Fontana
• Ludovico Ferrari
• Teorema fundamental del álgebra

Referencias

Bibliografía

• Uspensky, James Víctor. Teoría de Ecuaciones (1992) . Limusa Noriega Editores, Mexico D. F. ISBN 968-18-2335-4.
• Handbook of Mathematical Functions. Abramowitz/Stegun. Sección 3.8. Pág. 17
• Phase Equilibria in Chemical Engineering. Stanley M. Walas. pág. 48-49. Ejemplo 1.12
• CRC. Handbook of Mathematical Sciences
• Thermodynamics and Its Applications. Tester. Tercera edición. Apéndice E
• Teoría de ecuaciones polinomiales. CINVESTAV. IPN. Barrera Mora/Villa Salvador
• Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Murray R. Spiegel/John Liu/Lorenzo Abellanas. Segunda edición. Serie Schaum. Mc Graw-Hill(2003)
• Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. I. Brohnstein/Zemendiev. Editorial Mir Moscú
• Método matemáticos en ingeniería química. V. G. Jenson/G. V. Jeffreys. pág. 437-438

Enlaces externos

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuaciones de tercer grado.
• Resolución de ecuaciones de cuarto grado: Calculadora para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas(en idioma inglés y de uso libre y gratuito)