Método de Broyden

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En análisis numérico, el método de Broyden es un método cuasinewtoniano para la solución numérica de sistemas ecuaciones no lineales con más de una variable. Fue descrito originalmente por C. G. Broyden en 1965.[1]

Para hallar la solución del sistema de ecuaciones , con , el método de Newton emplea el jacobiano en cada iteración, además de calcular su inversa. Sin embargo, computar ese jacobiano es una operación difícil y costosa. La idea que subyace en el método de Broyden consiste en computar el jacobiano entero solamente en la primera iteración, y llevar a cabo una actualización de rango 1 en las demás iteraciones.

se supone continua y diferenciable en un conjunto abierto en con derivadas parciales continuas en ese abierto.[2]

En 1979, Gay demostró que, cuando se aplica el método de Broyden a un sistema lineal, se requieren 2n pasos.[3]

Descripción del método[editar]

El método de Broyden considera el método de la secante y establece una generalización de él para el espacio multidimensional.

El método de la secante sustituye la primera derivada por la aproximación de diferencia finita

y procede según el método de Newton:

Broyden establece una generalización de esa fórmula para un sistema de ecuaciones mediante una sustitución de por la inversa del jacobiano . Éste se determina por medio de la ecuación de la secante (la aproximación de diferencia finita):

Sin embargo, esta ecuación está infradeterminada por más de una dimensión.

Broyden sugiere un procedimiento que consta de los siguientes 3 pasos:

1) Emplear la aproximación del jacobiano

2) Tomar la solución de la ecuación de la secante que suponga la modificación mínima de (entendiendo por mínima que se dé una minimización de la norma de Frobenius )

3) Continuar según el método de Newton:

En esa última fórmula,

y

son vectores columna de k elementos en un sistema de k dimensiones.

Así:

Broyden sugiere también la fórmula de Sherman-Morrison para actualizar directamente el inverso de la aproximación del jacobiano por la aproximación de diferencia finita:

Éste último se conoce como el « buen método de Broyden».

Se puede obtener a partir de él una técnica similar empleando una modificación ligeramente distinta de que minimiza en su lugar

Tal sería el llamado « mal método de Broyden»:

Pero, en cuanto a lo de « mal método», véase "A faster Broyden method" ("Un método de Broyden más rápido").[4]

Se han sugerido muchos otros procedimientos cuasinewtonianos en el campo de la optimización, en el que se busca un máximo o un mínimo hallando la raíz de la primera derivada, o el gradiente si se trata de un espacio multidimensional. Se califica al jacobiano del gradiente de «hessiano», y es simétrico, lo que añade restricciones a la hora de llevar a cabo su actualización.

Fórmula de Sherman Morrison[5] [editar]

Si A es una matriz no singular y y son vectores con entonces es no singular y

Esta fórmula de Sherman-Morrison permite calcular la inversa de una matriz a partir de la inversa del Jacobiano, es por eso que solo se requiere en la primera iteración del método de Broyden, ya que para las iteraciones subsecuentes se va empleando la aproximación de la iteración anterior.

Referencias[editar]

  1. Broyden, C. G. (octubre de 1965). «A Class of Methods for Solving Nonlinear Simultaneous Equations». Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 19 (92): 577-593. doi:10.2307/2003941. JSTOR 10.2307/2003941. Consultado el 29 de abril de 2007. 
  2. O'Connor, José Luis de la Fuente (1 de enero de 1997). Técnicas de cálculo para sistemas de ecuaciones, programación lineal y programación entera: códigos en FORTRAN y C con aplicaciones de sistemas de energía eléctrica. Reverte. ISBN 9788429126068. Consultado el 5 de marzo de 2016. 
  3. Gay, D.M. (agosto de 1979). «Some convergence properties of Broyden's method». SIAM Journal of Numerical Analysis (SIAM) 16 (4): 623-630. doi:10.1137/0716047. 
  4. Kvaalen, Eric (noviembre de 1991). «A faster Broyden method». BIT Numerical Mathematics (SIAM) 31 (2): 369-372. doi:10.1007/BF01931297. 
  5. Predrag S. Stanimirovića, Vasilios N. Katsikisb, Dimitrios Pappasc (15 january, 2016). «Computing {2,4} and {2,3}-inverses by using the Sherman–Morrison formula». Applied Mathematics and Computation. Consultado el 4 de marzo de 2016. 

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]