Longitud de onda térmica de De Broglie

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En física, la longitud de onda térmica de De Broglie (Λ) es básicamente el promedio de la longitud de onda de De Broglie de las partículas en un gas ideal a una temperatura específica. Podemos tomar la separación promedio entre partículas en un gas, aproximadamente como (V/N)1/3, donde V es el volumen y N es el número de partículas. Cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es mucho menor a la distancia entre partículas, el gas puede considerarse como «clásico» o como un gas de Maxwell-Boltzmann. Por otro lado, cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es del orden o mayor que la distancia entre partículas, los efectos cuánticos dominarán, y el gas debe ser tratado ya sea como un gas de Fermi o un gas de Bose, dependiendo de la naturaleza de las partículas. La temperatura crítica es el punto de transición entre estos dos regímenes. A esta temperatura crítica, la longitud de onda térmica será aproximadamente igual a la distancia entre partículas. Es decir, la naturaleza cuántica del gas será evidente para

\frac{V}{N\Lambda^3}\le 1\text{ o bien, }\left(\frac{V}{N}\right)^{1/3}\le\Lambda,

es decir, cuando la distancia entre partículas es menor que la longitud de onda de De Broglie. En este caso, el gas obedecerá la estadística de Bose-Einstein o la estadística de Fermi-Dirac, dependiendo de cuál sea la apropiada. Este es, por ejemplo, el caso de electrones en un metal típico a T = 300 K; el gas de electrones obedece la estadística de Fermi-Dirac. Otro ejemplo es un condensado de Bose-Einstein.

Por otro lado, para

\frac{V}{N\Lambda^3}\gg 1\text{ o bien, }\left(\frac{V}{N}\right)^{1/3}\gg\Lambda

es decir, cuando la distncia entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie, el gas obedecerá la estadística de Maxwell-Boltzmann.[1] Este es el caso para neutrones térmicos producidos por una fuente de neutrones.

Partículas con masa[editar]

Para un gas ideal libre de partículas con masa (sin grados de libertad internos) en equilibrio, la longitud de onda térmica de De Broglie puede obtenerse a través de la longitud de onda de De Broglie típica:

\Lambda = \frac{h}{p}.

Sustituyendo el momento p por la energía cinética EK = p²/2m:

\Lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_K}}.

Entonces, en el caso cuántico, la energía cinética promedio de las partículas libres es EK = πkT.

\Lambda = \sqrt{\frac{  h^2}{ 2\pi mkT}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}},

En el caso clásico, la energía cinética promedio de las partículas libres es EK= 3 kT/2.

\Lambda = \frac{h}{\sqrt{3 mkT}},

donde h es la constante de Planck, m es la masa de una partícula del gas, k es la constante de Boltzmann, y T es la temperatura del gas.[1]

Partículas sin masa[editar]

Para una partícula sin masa, la longitud de onda térmica de De Broglie puede definirse como:

\Lambda= \frac{ch}{2\pi^{1/3}kT},

donde c es la velocidad de la luz. Al igual que en el caso de la longitud de onda térmica para partículas con masa, en este caso Λ es del orden de la longitud de onda promedio de las partículas en el gas, y define un punto crítico en el cual los efectos cuánticos comienzan a dominar. Por ejemplo, cuando se observa el espectro a longitudes de onda grandes de la radiación de cuerpo negro, se puede aplicar la ley de Rayleigh-Jeans «clásica». Sin embargo, cuando la longitud de onda observada se aproxima a la longitud de onda térmica de los fotones del cuerpo negro que irradia, la se debe utilizar la ley de Planck cuántica.

Definición general de la longitud de onda térmica[editar]

Una definición general de la longitud de onda térmica para un gas ideal cuántico en cualquier número de dimensiones y para una relación generalizada entre la energía y el momento ha sido establecida por Yan.[2] Es de importancia práctica, dado que existen muchas situaciones experimentales con diferente dimensionalidad y diferentes relaciones de dispersión. Si n es el número de dimensiones, y la relación entre energía, E y momento, p está dada por:

E=ap^s,

donde a y s son constantes, entonces, la longitud de onda térmica está definida como:

\Lambda=\frac{h}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{a}{kT}\right)^{1/s}\left[\frac{\Gamma\left(\displaystyle\frac n2+1\right)}{\Gamma\left(\displaystyle\frac ns+1\right)}\right]^{1/n}

donde Γ es la función Gamma. Por ejemplo, en el caso usual de partículas con masa en un gas tridimensional, tenemos que n = 3, y E = p2/2m, lo cual da los resultados anteriores para partículas con masa. Para partículas sin masa en un gas 3D, tenemos que n = 3  y E = p c, lo cual da el resultado anterior para partículas sin masa.

Referencias[editar]

  1. a b Charles Kittel; Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics (2.ª edición). W. H. Freeman. p. 73. ISBN 978-0716710882. 
  2. Yan, 2000.

Bibliografía[editar]

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