Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.​ Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.​ La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860​ y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.​

Definición formal

Funciones en espacios métricos

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función $f$ tiene límite $L$ en $c$ podemos decir de manera informal que la función $f$ tiende hacia el límite $L$ cerca de $c$ si se puede hacer que $f(x)$ esté tan cerca como queramos de $L$ haciendo que $x$ esté suficientemente cerca de $c$ siendo $x$ distinto de $c$.

Los conceptos cerca y sufucientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos:

${\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0/\forall x\in Dom(f),0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}}$

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del $\delta$ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal $\delta$.

Existe otra manera de esribir esto mismo que tiene que ver con el concepto de bolas:

Supóngase f : (M, d_M) -> (N, d_N) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, c) < δ, tenemos d_N(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = c es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

si $0<\left|x-c\right|<\delta$ , entonces $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon$

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - c | < δ es la siguiente:

x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ): x no toca el valor de c, pues

0 < | x - c | implica x distinto de c,

mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "c" y agujereada en "c" con radio delta y centro "c", aun cuando en ese punto "c" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite

Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.​

Supongamos que $lim_{x\rightarrow p}f(x)=L$, veamos que no puede ser que $L'\neq L$ también verifique la definición. Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersecten. Por definición de límite $f(x)\in E$ para todo x en algún entorno agujereado de p, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Límite de una función en un punto

Sea f una función real, entonces

$\lim _{x\to c}f(x)=L,\quad c,L\in \mathbb {R}$

si y sólo si

para todo $\varepsilon >0\;$ existe un $\delta >0\;$ tal que para todo número real x en el dominio de la función

$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Notación formal:

$\forall \varepsilon >0,\exists {\delta >0}/\forall _{x\in \mathbb {D} }\ 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet $D:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida como:

$D(x)={\begin{cases}c&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {racional} \\d&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {irracional} \\\end{cases}}$

donde no existe un número c para el cual exista $\lim _{x\to c}f(x)\quad$. Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

${\begin{array}{ll}\infty -\infty \\\\{\cfrac {\infty }{\infty }}&{\cfrac {0}{0}}\\\\\infty \cdot 0&1^{\infty }\\\\\infty ^{0}&0^{0}\end{array}}$

* Nota: $\infty \,\!$ se refiere al límite que tiende infinito y $0\,\!$ al límite cuando tiende 0 (no al número 0).

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}=1$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}=0$

Propiedades de los límites segun san pintos

Si k es un escalar:

1. Límite de una constante: $\lim _{x\to p}k=\,k\,$
2. Límite de la función identidad: $\lim _{x\to p}x=\,p\,$
3. Producto de una función y una constante: $\lim _{x\to p}kf(x)=\,k\lim _{x\to p}f(x)\,$
4. Límite de una suma: $\lim _{x\to p}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\,$
5. Límite de una resta: $\lim _{x\to p}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\,$
6. Límite de un producto: $\lim _{x\to p}(f(x)g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\,$
7. Límite de un cociente: $\lim _{x\to p}{{f(x)} \over {g(x)}}=\,{{\lim _{x\to p}{f(x)}} \over {\lim _{x\to p}{g(x)}}}\,\ si\ g(x)\neq 0\ y\lim _{x\to p}g(x)\neq 0,$
8. Límite de una potencia: ${\lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}}=\,{\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\,\ si\ f(x)>0$
9. Límite de un logaritmo: ${\lim _{x\to p}\log f(x)}=\,\log {\lim _{x\to p}f(x)}$
10. Definión del número e como límite: ${\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1 \over x}}=\,{\lim _{x\to \infty }\left(1+{1 \over x}\right)^{x}}=\,e$
11. ${\lim _{x\to p}\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\,0{\mbox{ si }}f(x)\,{\mbox{ acotada y }}g(x){\mbox{ infinitesimo}}$.

Límites trigonométricos

1. ${\lim _{x\to \infty }x\;\sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}=\,2\pi$
2. ${\lim _{x\to 0}{{\operatorname {sen} x} \over x}}={\lim _{x\to 0}{x \over \operatorname {sen} x}}=\,1\,$
3. ${\lim _{x\to 0}{\tan x \over x}}={\lim _{x\to 0}{x \over \tan x}}=\,1\,$
4. ${\lim _{x\to 0}{\operatorname {sen} x \over \tan x}}\,={\lim _{x\to 0}{\tan x \over \operatorname {sen} x}}=\,1$
5. ${\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}=\,1/2\,$

Véase también

• Límite matemático
• Topología de red, una generalización del concepto de límite.