Interpolación bilineal

La interpolación bilineal es una extensión de la interpolación lineal para interpolar funciones de dos variables (por ejemplo, $x$ e $y$ ) en una malla regular de dos dimensiones.

La idea principal es realizar una interpolación lineal en una dirección, y después en la otra. Aunque cada uno de estos pasos es lineal, la interpolación en su conjunto no es lineal sino cuadrática.

Algoritmo[editar]

Supóngase que se quiere encontrar el valor para la función f desconocida en el punto P = (x, y). Conocemos el valor de f en los cuatro puntos Q₁₁ = (x₁, y₁), Q₁₂ = (x₁, y₂), Q₂₁ = (x₂, y₁) y Q₂₂ = (x₂, y₂).

Primero se hace una interpolación lineal en la dirección x. Esto genera:

f(R_{1})\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})

donde $R_{1}=(x,y_{1})$ ,

f(R_{2})\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})

donde $R_{2}=(x,y_{2}).$

Después se hace una interpolación en la dirección y:

f(P)\approx {\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(R_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(R_{2}).

Esto proporciona una estimación de f(x, y).

{\begin{aligned}f(x,y)\approx &\,{\frac {f(Q_{11})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)\,+\\&\,{\frac {f(Q_{21})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)\,+\\&\,{\frac {f(Q_{12})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})\,+\\&\,{\frac {f(Q_{22})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})\\=&\,{\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\Big (}f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)\,+\\&\,\qquad \qquad \qquad \qquad \;\;f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)\,+\\&\,\qquad \qquad \qquad \qquad \;\;f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})\,+\\&\,\qquad \qquad \qquad \qquad \;\;f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1})\quad {\Big )}.\end{aligned}}

Hay que tener en cuenta que se obtienen los mismos resultados si la interpolación se hace primero en la dirección y y después en la dirección x.

Cuadrado unidad[editar]

Si se escoge un sistema de coordenadas en los cuales los cuatro puntos donde f es conocido sean (0, 0), (0, 1), (1, 0) y (1, 1), entonces la fórmula de interpolación se simplifica notablemente a:

$f(x,y)\approx f(0,0)\,(1-x)(1-y)+f(1,0)\,x(1-y)+f(0,1)\,(1-x)y+f(1,1)xy.$

O equivalentemente, en forma matricial:

$f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}.$

No-linealidad[editar]

Contrariamente a lo que el nombre pudiera sugerir, la interpolación bilineal no es lineal, ya que de hecho es el producto de dos funciones lineales (y, por tanto, no lineal):

$(a_{1}x+a_{2})(a_{3}y+a_{4}),\,$

Alternativamente, la interpolación puede escribirse como:

$b_{1}+b_{2}x+b_{3}y+b_{4}xy\,$

donde

b_{1}=f(0,0)\,

b_{2}=f(1,0)-f(0,0)\,

b_{3}=f(0,1)-f(0,0)\,

b_{4}=f(0,0)-f(1,0)-f(0,1)+f(1,1).\,

En ambos casos, el número de constantes (cuatro) se corresponde con el número de datos en los que se conoce f. La interpolación lineal a lo largo de líneas paralelas al eje $x$ o al eje $y$ , equivalentmente si $x$ o $y$ se toma como constante. A lo largo de cualquier otra línea recta, la interpolación resulta una función cuadrática.

Debe notarse, sin embargo, que aunque la interpolación no es lineal en la posición (x e y), es lineal en amplitud, como puede verse a partir de las ecuaciones anteriores: todos los coeficientes bj, j=1..4 son proporcionales al valor de la función f(,).

El resultado de una interpolación bilineal es independiente del orden (aquí orden significa qué eje se interpola primero y cual el segundo. Si se realizara primero una interpolación lineal en sobre el eje y y luego sobre el eje x, la aproximación resultante es la misma.

Existe una extensión obvia de la interpolación lineal a tres dimensiones denominada interpolación trilineal.