Integral de Wallis

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Se llaman integrales de Wallis a un conjunto de integrales introducidas por Wallis, que conforman una sucesión de integrales. El término n-ésimo de la sucesión de integrales de Wallis viene dado por:

La igualdad anterior se obtiene cambiando de variable en la integral, y luego renombrando en .

Propiedades elementales[editar]

Los términos son positivos no nulos porque las funciones lo son sobre el intervalo . La sucesión es estrictamente decreciente porque sobre , sen x pertenece a ]0; 1[ y para todo número real r en ]0; 1[ la sucesión decrece estrictamente. Otro modo de ver es calcular la diferencia:

porque sobre luego la integral de una función continua negativa no nula es negativa. La función tiende hacia 0 para todo x en cuando n tiende hacia el infinito, luego, trabajando sobre el intervalo compacto :

Formas explícitas de las integrales de Wallis[editar]

Los dos primeros términos de la sucesión se calculan directamente:

y

Los siguientes términos se calculan gracias a una relación de inducción que se va a obtener por intergración por partes:

La integral se obtiene por integración por partes. Primero se integra en:

y se deriva en :

Por tanto tenemos: lo que equivale a es decir luego lo que se escribe también Esta relación permite expresar los términos de rango impar en función de y los de rango par en función de . En concreto:

Para n impar: y porque ; donde n! y k! son las factoriales de n y k.

Para n par se procede de la misma manera, salvo que los factores pares aparecen en el denominador; se multiplica el numerador y el denominador por el denominador para hacer aparecer la factorial n! arriba y las potencias de 2 abajo: sin detallar tanto como anteriormente, tenemos:

Aplicación a la fórmula de Stirling[editar]

La aplicación más notable de las integrales de Wallis es el cálculo de la constante que aparece en la fórmula de Stirling. Se procede así: Como ya se ha visto, la sucesión es decreciente, y .

Luego lo que da es decir

Tomando n par, tenemos

pues n+1 es impar.

Al multiplicar las fracciones se simplifican: luego y sacando la raíz:

Ahora introduzcamos en la equivalencia .

.

Comparando con el último equivalente de , se obtiene: luego y finalmente: .


Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]