Ver el código de «Homotopía»

[[Archivo:RM-Homotopia-1.gif|miniaturadeimagen|Los dos caminos en líneas punteadas que se muestran arriba son homótopos en relación con sus extremos. La animación muestra una posible homotopía entre ellos.]]
En [[topología]], y más precisamente en [[topología algebraica]], dos [[Función matemática|aplicaciones]] [[Continuidad (matemática)|continuas]] de un [[espacio topológico]] en otro se dicen '''homótopas''' (del [[idioma griego|griego]] ''homos'' = mismo y ''topos'' = lugar) si una de ellas puede "deformarse continuamente" en la otra.

Un uso notable de la homotopía es la definición de [[Grupo de homotopía|grupos de homotopía]] y [[grupo de cohomotopía|grupos de cohomotopía]], importantes [[invariante]]s en [[topología algebraica]].<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/homotopy|title=Homotopía {{!}} matemáticas|website=Enciclopedia Británica|language=es|access-date=2019-08-17}}</ref>

En la práctica, hay dificultades técnicas en el uso de homotopías con ciertos espacios.  Los topólogos algebraicos trabajan con espacios compacto generados, [[CW-complejo]], o [[Espectro (teoría de la homotopía)|espectro]].
== Definición formal ==
[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|250px|Una homotopía entre dos [[embedding]]s del [[Toro (geometría)| toro]] en ''R''<sup>3</sup>: como "la superficie de un donut" y como "la superficie de una taza de café".  Este es también un ejemplo de [[isotopía]].]]
Dos aplicaciones [[continua]]s <math>f,g:X\to Y</math> se dicen homótopas si existe otra aplicación (continua también) <math>H:X\times [0,1]\to Y</math> tal que:

:<math>H(x,0)=f(x) \,</math>
:<math>H(x,1)=g(x) \,</math>

Un ejemplo importante son las diferentes clases (de homotopía) de mapeos del círculo a un espacio <math>X</math>
:<math>S^1\to X \,</math>
la estructura resultante es el importantísimo [[grupo fundamental]].

* Si dos aplicaciones ''f'' y ''g'' son homótopas, se escribe ''f'' ≃ ''g''; lo que significa esta relación es efectivamente una relación de equivalencia sobre el conjunto de aplicaciones continuas de X en Y, Las clases de equivalencia se denominan ''clases de homotopía'' de aplicaciones.<ref>Munkres: "Topología"</ref>

Una notación alternativa es decir que una homotopía entre dos funciones continuas <math>f, g: X \to Y</math> es una familia de funciones continuas <math>h_t: X \to Y</math> para <math>t \in [0,1]</math> tal que <math>h_0 = f</math> and <math>h_1 = g</math>, y el [[Mapa_(matemáticas)|map]] <math>(x, t) \mapsto h_t(x)</math> es continuo desde <math>X \times [0,1]</math> hasta <math>Y</math>. Las dos versiones coinciden fijando <math>h_t(x) = H(x,t)</math>. No basta con exigir que cada mapa <math>h_t(x)</math> sea continuo.<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/104515/path-homotopy-and-separately-continuous-functions|title=topología algebraica - Homotopía de trayectorias y funciones continuas por separado|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>

La animación que está en bucle arriba a la derecha proporciona un ejemplo de una homotopía entre dos [[Encaje (matemática)| encajes]], ''f'' y ''g'', del toro en {{nowrap|1=''R''<sup>3</sup>}}.  ''X'' es el toro, ''Y'' es {{nowrap|1=''R''<sup>3</sup>}}, ''f'' es alguna función continua desde el toro a ''R''<sup>3</sup> que lleva el toro a la superficie incrustada de una forma de rosquilla con la que comienza la animación; ''g'' es alguna función continua que lleva el toro a la superficie incrustada de una forma de taza de café.  La animación muestra la imagen de ''h''<sub>''t''</sub>(''x'') en función del parámetro ''t'', donde ''t'' varía con el tiempo de 0 a 1 en cada ciclo del bucle de animación.  Hace una pausa, luego muestra la imagen mientras ''t'' vuelve a variar de 1 a 0, hace una pausa, y repite este ciclo.
===Propiedades===
Se dice que las funciones continuas ''f'' y ''g'' son homotópicas si y sólo si existe una homotopía ''H'' que lleva ''f'' a ''g'' como se ha descrito anteriormente. Ser homotópico es una [[relación de equivalencia]] en el conjunto de todas las funciones continuas de ''X'' a ''Y''. 
Esta relación de homotopía es compatible con la [[composición de funciones]] en el siguiente sentido: si {{nowrap|1=''f''<sub>1</sub>, ''g''<sub>1</sub> : ''X'' → ''Y''}} son homotópicas, y {{nowrap|1=''f''<sub>2</sub>, ''g''<sub>2</sub> : ''Y'' → ''Z''}} son homotópicas, entonces sus composiciones {{nowrap|1=''f''<sub>2</sub>&thinsp;∘&thinsp;''f''<sub>1</sub>}} y {{nowrap|1=''g''<sub>2</sub>&thinsp;∘&thinsp;''g''<sub>1</sub> : ''X'' → ''Z''}} también son homotópicas.
== Ejemplos ==
* Si <math>f, g: \R \to \R^2</math> viene dado por <math>f(x) := \left(x, x^3\right)</math> y <math>g(x) = \left(x, e^x\right)</math>, entonces el mapa <math>H: \mathbb{R} \times [0, 1] \to \mathbb{R}^2</math> dado por <math>H(x, t) = \left(x, (1 - t)x^3 + te^x\right)</math> es una homotopia entre ellos.
* Más generalmente, si <math>C \subseteq \mathbb{R}^n</math> es un [[conjunto convexo|convexo]] subconjunto del [[espacio euclídeo]] y <math>f, g: [0, 1] \to C</math> son [[senda (topología)|sendas]] con los mismos puntos finales, entonces hay una '''homotopía lineal'''<ref>{{Cite book|title=Algebraic topology|last=Allen.|first=Hatcher|date=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521795401|location=Cambridge|pages=185|oclc=45420394}}</ref> dada por 
*: <math>\begin{align}
  H: [0, 1] \times [0, 1] &\longrightarrow C \\
                   (s, t) &\longmapsto (1 - t)f(s) + tg(s).
\end{align}</math>
* Dejando que <math>\operatorname{id}_{B^n}:B^n\to B^n</math> sea la [[función identidad]] en la unidad ''n''-[[bola (matemática)|disco]]; es decir, el conjunto <math>B^n := \left\{x\in\mathbb{R}^n: \|x\| \leq 1\right\}</math>. Sea <math>c_{\vec{0}}: B^n \to B^n</math> sea la [[función constante]] <math>c_\vec{0}(x) := \vec{0}</math> que envía cada punto al [[Origen (matemáticas)|origen]]. Entonces la siguiente es una homotopía entre ellas:
*: <math>\begin{align}
  H: B^n \times [0, 1] &\longrightarrow B^n \\
                (x, t) &\longmapsto (1 - t)x.
\end{align}</math>

== Equivalencia de homotopía ==
Dados dos espacios topológicos ''X'' e ''Y'', una '''equivalencia de homotopía''' entre ''X'' e ''Y'' es un par de [[Función continua|funciones continuas]] {{nowrap|1=''f'' : ''X'' → ''Y''}}} y {{nowrap|1=''g'' : ''Y'' → ''X''}}, tal que {{nowrap|1=''g''&thinsp;∘&thinsp; ''f''}} es homotópica a la [[función identidad|mapa identidad]] id<sub>''X''</sub> y {{nowrap|1=''f''&thinsp;∘&thinsp;''g''}} es homotópica a id<sub>''Y''</sub>. Si tal par existe, entonces se dice que ''X'' e ''Y'' son '''homotópicamente equivalentes''', o del mismo '''tipo homotópico''''. Intuitivamente, dos espacios ''X'' e ''Y'' son homotópicamente equivalentes si pueden transformarse el uno en el otro mediante operaciones de flexión, contracción y expansión. Los espacios que son homotópicamente equivalentes a un punto se llaman [[Espacio contráctil|contráctiles]].
=== Equivalencia de homotopía vs. homeomorfismo ===
Un [[homeomorfismo]] es un caso especial de una equivalencia homotópica, en la que {{nowrap|1=''g''&thinsp;∘&thinsp; ''f''}} es igual al mapa identidad id<sub>''X''</sub> (no sólo homotópico a él), y {{nowrap|1=''f''&thinsp;∘&thinsp;''g''}} es igual a id<sub>''Y''</sub>.<ref>Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/XxFGokyYo6g Ghostarchive]{{cbignore}} and the {{Cite web|last=Albin|first=Pierre|date=2019|title=History of algebraic topology|website=[[YouTube]]|url=https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g&gl=US&hl=en|fechaacceso=28 de abril de 2023|fechaarchivo=29 de agosto de 2020|urlarchivo=https://web.archive.org/web/20200829013025/https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g&gl=US&hl=en|deadurl=}}{{cbignore}}: {{Cite web|last=Albin|first=Pierre|date=2019|title=History of algebraic topology|website=[[YouTube]] |url=https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g}}{{cbignore}}</ref>{{Rp|0:53:00}}Por lo tanto, si X e Y son homeomórficos, entonces son homotópicamente equivalentes, pero lo contrario no es cierto. Algunos ejemplos:

* Un disco sólido es homotópicamente equivalente a un único punto, ya que se puede deformar el disco a lo largo de líneas radiales continuamente hasta un único punto. Sin embargo, no son homeomorfos, ya que no hay [[biyección]] entre ellos (ya que uno es un conjunto infinito, mientras que el otro es finito).
* La [[banda de Möbius]] y una banda no retorcida (cerrada) son homotópicamente equivalentes, ya que se pueden deformar ambas bandas continuamente hasta un círculo. Pero no son homeomorfas.

== Tipo homotópico ==

Se dice que dos espacios ''X'', ''Y'' tienen el mismo '''tipo de homotopía''', si existe un par de aplicaciones <math>X\stackrel{f}\to Y</math> y <math>Y\stackrel{g}\to X</math> tales que <math>g\circ f</math> y <math>f\circ g</math> son homótopas a <math>Id_X</math> y <math>Id_Y</math> respectivamente.

Suele ser utilizado el símbolo: <math>f\simeq g</math>, para indicar que los objetos ''f'' y ''g'' son '''homótopos'''.

Como ejemplos, una [[1-esfera]] y un [[Toro (geometría)|toro sólido]] tienen el mismo tipo de homotopía. Un espacio topológico que tiene el mismo tipo de homotopía  que un [[conjunto unitario]] se dice [[Espacio contráctil|contráctil]].

== Variantes ==

===Homotopía relativa===

Para poder definir el [[grupo fundamental]] se define de la noción de '''homotopía relativa a un subespacio'''. Las mismas son homotopías que  mantienen fijos los elementos del subespacio. Formalmente: si ''f'' y ''g'' son mapas continuos de ''X'' a ''Y'' y ''K'' es un [[subconjunto]] de ''X'', entonces se dice que ''f'' y ''g'' son homotópicos relativos con ''K'' si es que existe una homotopía {{nowrap|1=''H'' : ''X'' &times; [0,&thinsp;1] → ''Y''}} entre ''f'' y ''g'' tal que {{nowrap|1=''H''(''k'',&thinsp;''t'') = ''f''(''k'') = ''g''(''k'')}} para todo {{nowrap|1=''k'' ∈ ''K''}} y {{nowrap|1=''t'' ∈ [0,&thinsp;1].}} También, si ''g'' es una [[Retracto|retracción]] de ''X'' a ''K'' y ''f'' es la aplicación identidad, se conoce como [[Retracto de deformacion|retracción de deformación]] de ''X'' a ''K''.
Cuando ''K'' es un punto, se utiliza el término '''fomotopía puntual'''.

=== Isotopía ===
{{multiple image
| total_width = 320
| image1 = Blue Unknot.png
| image2 = Blue Trefoil Knot.png
| footer = El [[nudo trivial]] no es equivalente al [[nudo de trébol]], ya que uno no puede deformarse en el otro a través de un camino continuo de homeomorfismos del espacio ambiental. Por lo tanto, no son isotópicos ambientales.
}}
En caso de que las dos funciones continuas dadas ''f'' y ''g''  del espacio topológico ''X'' al espacio topológico ''Y'' sean [[Encaje (matemática)|encajes]], uno puede preguntarse si pueden conectarse 'a través de encajes'. Esto da lugar al concepto de '''isotopía''', que es una homotopía, ''H'', en la notación utilizada antes, tal que para cada ''t'' determinado, ''H''(''x'', ''t'') da un encaje.<ref>{{MathWorld|Isotopy|Isotopy}}</ref>

Un concepto relacionado, pero diferente, es el de [[isotopía ambiental]].

Requerir que dos encajes sean isotópicos es un requisito más fuerte que el que sean homotópicas. Por ejemplo, la aplicación del mapa del intervalo [−1, 1] a los números reales definidos por ''f''(''x'') = &minus;''x'' no es isotópica a la identidad ''g(x) = x''. Cualquier homotopía de ''f'' a la identidad tendría que intercambiar los extremos, lo que significaría que tendrían que 'atravesarse' entre sí. Además, ''f'' ha cambiado la orientación del intervalo y ''g'' no, lo cual es imposible bajo una isotopía. Sin embargo, los mapas son homotópicos; una homotopía de ''f'' a la identidad es ''H'': [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] dada por ''H(x, y)'' = 2''yx − x''.

Se puede demostrar que dos homeomorfismos (que son casos especiales de encajes) de la bola unitaria que concuerdan en el límite son isotópicos usando el [[truco de Alexander]]. Por esta razón, el mapa del [[disco unitario]] en '''R'''<sup>2</sup> definido por ''f''(''x'',&thinsp;''y'') = (&minus;''x'',&nbsp;&minus;''y'') es isotópico con una rotación de 180-grados alrededor del origen, y por lo tanto el mapa de identidad y  ''f'' son isotópicos porque están relacionados mediante rotaciones.

En el ámbito de la [[topología geométrica]]; por ejemplo en la [[teoría de nudos]]— la idea de isotopía es utilizada para construir relaciones de equivalencia. Por ejemplo, cuando es que dos nudos deben ser considerados el mismo?  Si se tiene n dos nudos, ''K''<sub>1</sub> y ''K''<sub>2</sub>, en un espacio tridimenasional. Un nudo es un [[Encaje (matemática)|encaje]] de un espacio unidimensional, el "lazo de cuerda" (o el círculo), en este espacio, y este encaje da un homeomorfismo entre el círculo y su imagen en el espacio de encaje. La idea intuitiva detrás de la noción de equivalencia de nudo es que se puede ''deformar'' de un encaje a otro a través de un camino de encajes: una función continua que comienza en ''t''&nbsp;=&nbsp;0 provee el encaje ''K''<sub>1</sub>, y finaliza en ''t''&nbsp;=&thinsp;1 proveyendo el encaje ''K''<sub>2</sub>, y todos los valores intermedios corresponden a encajes. Ello es la definición de isotopía. Una [[isotopía ambiental]], analizada en este contexto, es una isotopía del espacio más amplio, considerada a la luz de su acción en las variedades encajadas. Los nudos ''K''<sub>1</sub> y ''K''<sub>2</sub> son considerados equivalentes cuando existe una isotopía ambiental que desplaza ''K''<sub>1</sub> a ''K''<sub>2</sub>. Esta es la definición apropiada en la categoría topológica.

Un lenguaje similar es usado para el concepto equivalente en contextos donde existe una noción fuerte de equivalencia. Por ejemplo, un camino entre dos encajes lisos es una '''isotopía lisa'''.

===Homotopía temporal===
En una [[variedad lorentziana]], ciertas curvas se distinguen como [[tiempo|temporal]]es (que representan algo que solo avanza, no retrocede, en el tiempo, en cada [[marco local]]). Una [[homotopía temporal]] entre dos curvas temporales es una homotopía tal que la curva permanece temporal durante la transformación continua de una curva a otra. Ninguna [[curva temporal cerrada]] (CTC) en una variedad lorentziana es homotópica temporal hacia un punto (es decir, homotópica temporal nula); por lo tanto, se dice que tal variedad está conectada de forma múltiple por curvas temporales. Una variedad como la de la esfera 3 se puede conectar simplemente (mediante cualquier tipo de curva) y, sin embargo, estar conectada de forma múltiple en el tiempo.<ref>{{Cite journal|last=Monroe|first=Hunter|date=2008-11-01|title=Are Causality Violations Undesirable?|journal=Foundations of Physics|language=en|volume=38|issue=11|pages=1065–1069|doi=10.1007/s10701-008-9254-9|issn=0015-9018|arxiv=gr-qc/0609054|bibcode=2008FoPh...38.1065M|s2cid=119707350 }}</ref>

==Usos== 
===Teorema fundamental del álgebra=== 
La homotopía es la fuente de muchas demostraciones. Un ejemplo famoso es el [[Teorema fundamental del álgebra]], que indica que cualquier [[polinomio]] no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz en ℂ<sup>4</sup> .

Para demostrarlo, consideramos un polinomio unitario P que no tiene raíz en ℂ y probaremos que su grado n es cero. Para cada r real positivo , definimos el bucle α<sub>''r''</sub> mediante :
<center><math>\forall t \in [0,1]\quad \alpha_r(t) = \frac {P(r\exp(2\pi\mathrm it))/P(r)}{|P(r\exp(2\pi\mathrm it))/P(r)|}.</math></center>
Por definición, α<sub>''r''</sub> es un bucle definido en el círculo. Si r es igual a 0, obtenemos el bucle constante igual a 1. Como la función que asocia α<sub>''r''</sub>( t ) con r y t es continua, todos los bucles α<sub>''r''</sub> son homotópicos en un punto.

Sea (''a<sub>j</sub>'') la secuencia de los coeficientes de ''P'' y ρ un número real mayor que 1 y que la suma Σ|''a<sub>j</sub>''| de módulos de coeficientes de ''P'' . Si ''z'' es un complejo de módulo ρ,

<center><math>(1)\quad |z^n| = \rho^n > (|a_0| + \cdots + |a_{n-1}|)\rho^{n-1} \ge |a_0 + a_1z + \cdots + a_{n-1}z^{n-1}|.</math></center>


Definimos el polinomio P<sub>s</sub> y el bucle β<sub>s</sub> mediante:

<center><math>P_s(z) = s(a_0 + a_1z + \cdots + a_{n-1}z^{n-1}) + z^n,\quad \forall t \in [0,1]\quad \beta_s(t) = \frac {P_s(\rho\exp(2\pi\mathrm it))/P_s(\rho)}{|P_s(\rho\exp(2\pi\mathrm it))/P_s(\rho)|}.</math></center>

Las desigualdades (1) muestran que si | s | ≤ 1, el polinomio P<sub>s</sub> no admite una raíz de módulo ρ por lo que el bucle β<sub>s</sub> está bien definido. El bucle β<sub>0</sub> realiza n vueltas alrededor del origen, según el párrafo anterior. Dado que la función que asocia β <sub>s</sub>(t) con s y t es continua, este bucle β<sub>0</sub> es homotopico a β<sub>1</sub> = α<sub>ρ</sub>. Como este último es homotópico en un punto, es decir que hace 0 vueltas alrededor del origen, n es igual a 0.

===Grupo fundamental=== 
Si X es un espacio topológico, podemos componer dos bucles de la misma base p (es decir, del mismo origen y del mismo final p) α<sub>1</sub> y α<sub>2</sub> construyendo un bucle que primero atraviese la trayectoria de α<sub>1</sub>, luego el de α<sub>2</sub>. Esta composición es compatible con la relación de equivalencia que es homotópica a. Cociente de esta relación de equivalencia, obtenemos una estructura de grupo denominada ''grupo fundamental'' o ''grupo de Poincaré''.<ref>Lannes 2004, p. 8 ou (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, 544 p. ISBN 978-0-521-79540-1.</ref> Esta noción se generaliza y permite definir una infinidad degrupos de homotopía.

Este grupo está en el origen de las manifestaciones. Uno de los más famosos es el del [[Teorema del punto fijo de Brouwer]] en la dimensión dos, que indica que cualquier mapa continuo del disco en sí mismo admite un punto fijo.

== Referencias ==
{{listaref}}

==Bibliografía==
* {{MathWorld|título=Homotopía|Homotopy}}
* {{Springer|Homotopy|id=Homotopy&oldid=18180}}
* Brayton Gray: Homotopy theory. An introduction to algebraic topology (= Pure and Applied Mathematics. Nr. 64). Academic Press, New York u. a. 1975, ISBN 0-12-296050-5.
* Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79540-0 (cornell.edu).
* John McCleary (Hrsg.): Higher Homotopy Structures in Topology and Mathematical Physics. Proceedings of an international Conference, June 13 – 15, 1996 at Vassar College, Poughkeepsie, New York, to Honor the sixtieth Birthday of Jim Stasheff (= Contemporary Mathematics. Band 227). American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0913-X.
* George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory. Corrected 3rd Printing (= Graduate Texts in Mathematics. Band 61). Springer, New York u. a. 1995, ISBN 0-387-90336-4.
* M. Sielemann, F. Casella, M. Otter, C. Claus, J. Eborn, S. E. Mattsson, H. Olsson: Robust Initialization of Differential-Algebraic Equations Using Homotopy. International Modelica Conference, Dresden 2011, ISBN 978-91-7393-096-3.
*{{cite book |last=Armstrong |first=M.A. |title=Basic Topology |year=1979 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90839-7}}
*{{Springer |title=Homotopy |id=p/h047920}}
*{{Springer |title=Isotopy (in topology) |id=p/i052940}}
*{{cite book |last=Spanier |first=Edwin |title=Algebraic Topology |date=December 1994 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-94426-5}}

== Enlaces externos ==
{{wikiversidad|Grupo de homotopía}}

{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Topología algebraica]]
[[Categoría:Funciones]]
[[Categoría:Teoría de funciones continuas]]