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En matemáticas , la función zeta de Lerchfunción zeta de Hurwitz-Lerch , es una función especial que generaliza la función zeta de Hurwitz y el polilogaritmo . Ha sido designada en honor a Mathias Lerch [1] .
La función zeta de Lerch está expresada mediante
L
(
λ
,
α
,
s
)
=
∑
n
=
0
∞
exp
(
2
π
i
λ
n
)
(
n
+
α
)
s
.
{\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi i\lambda n)}{(n+\alpha )^{s}}}.}
La función trascendente de Lerch , que se encuentra relacionada con la zeta de Lerch es la definida de la siguiente forma:
Φ
(
z
,
s
,
α
)
=
∑
n
=
0
∞
z
n
(
n
+
α
)
s
.
{\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}
Las dos se encuentran relacionadas mediante la expresión
Φ
(
exp
(
2
π
i
λ
)
,
s
,
α
)
=
L
(
λ
,
α
,
s
)
.
{\displaystyle \,\Phi (\exp(2\pi i\lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s).}
Representaciones integrales [ editar ] Una representación integral está dada por la expresión
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
t
s
−
1
e
−
a
t
1
−
z
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}
para
ℜ
(
a
)
>
0
∧
ℜ
(
s
)
>
0
∧
z
<
1
∨
ℜ
(
a
)
>
0
∧
ℜ
(
s
)
>
1
∧
z
=
1.
{\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)>0\wedge z<1\vee \Re (a)>0\wedge \Re (s)>1\wedge z=1.}
Una representación tipo integral de contorno es
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
−
Γ
(
1
−
s
)
2
π
i
∫
0
(
+
∞
)
(
−
t
)
s
−
1
e
−
a
t
1
−
z
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{0}^{(+\infty )}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}
para
ℜ
(
a
)
>
0
∧
ℜ
(
s
)
<
0
∧
z
<
1
{\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)<0\wedge z<1}
donde el contorno no debe abarcar ningún punto tal que
t
=
log
(
z
)
+
2
k
π
i
,
k
∈
Z
.
{\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i,k\in Z.}
Una representación integral tipo Hermite es
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
2
a
s
+
∫
0
∞
z
t
(
a
+
t
)
s
d
t
+
2
a
s
−
1
∫
0
∞
sin
(
s
arctan
(
t
)
−
t
a
log
(
z
)
)
(
1
+
t
2
)
s
/
2
(
e
2
π
a
t
−
1
)
d
t
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}
para
ℜ
(
a
)
>
0
∧
|
z
|
<
1
{\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}
y
Φ
(
z
,
s
,
a
)
=
1
2
a
s
+
log
s
−
1
(
1
/
z
)
z
a
Γ
(
1
−
s
,
a
log
(
1
/
z
)
)
+
2
a
s
−
1
∫
0
∞
sin
(
s
arctan
(
t
)
−
t
a
log
(
z
)
)
(
1
+
t
2
)
s
/
2
(
e
2
π
a
t
−
1
)
d
t
{\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}
para
ℜ
(
a
)
>
0.
{\displaystyle \Re (a)>0.}
Lerch, Mathias (1903), «Démonstration élémentaire de la formule:
π
2
sin
2
π
x
=
∑
ν
=
−
∞
∞
1
(
x
+
ν
)
2
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}{\pi x}}}=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+\nu )^{2}}}}
L'Enseignement Mathématique 5 : 450-453 Jackson, M. (1950), «On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series
2
ψ
2
{\displaystyle \scriptstyle _{2}\psi _{2}}
J. London Math. Soc. 25 (3): 189-196, doi :10.1112/jlms/s1-25.3.189 MR 0036882 Bateman, H. ; Erdélyi, A. (1953), Higher Transcendental Functions , New York: McGraw-Hill Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent», The Ramanujan Journal 16 (3): 247-270, doi :10.1007/s11139-007-9102-0 arΧiv :math.NT/0506319 , MR 2429900 Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), The Lerch zeta-function , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 9781402010149 MR 1979048 Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. (2002), C and Mathematica Programs for Calculation of Lerch's Transcendent Ramunas Garunkstis, Home Page (Provides numerous references and preprints.)
Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function
S. Kanemitsu, Y. Tanigawa and H. Tsukada, A generalization of Bochner's formula (enlace roto disponible en Internet Archive ; véase el historial , la primera versión y la última ). 
Datos: Q1546155