Forma de onda de Maass

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En matemáticas, las formas de Maass o las formas de onda de Maass se estudian en la teoría de formas automorfas. Las formas de Maass son funciones suaves de valores complejos del semiplano superior, que se transforman de manera similar bajo la operación de un subgrupo discreto de como formas modulares. Son formas propias del operador hiperbólico de Laplace definido en y satisfacen ciertas condiciones de crecimiento en las cúspides de un dominio fundamental de . En contraste con las formas modulares, las formas de Maass no necesitan ser holomórficas. El primero en estudiarlas (a partir de 1949) fue el matemático alemán Hans Maass.

Observaciones generales[editar]

El grupo

opera en el semiplano superior

por transformaciones lineales fraccionarias:

Se puede extender a una operación en definiendo:

La medida de Radon

definida en es invariante bajo la operación de .

Sea un subgrupo discreto de . Un dominio fundamental para es un conjunto abierto , para que exista un sistema de representantes de con

Un dominio fundamental para el grupo modular viene dado por

(véase forma modular ).

Una función se llama -invariante, si vale para todo y todo .

Por cada medible, la función -invariante cumple la ecuación

Aquí la medida en el lado derecho de la ecuación es la medida inducida en el cociente

Formas clásicas de Maass[editar]

Definición del operador hiperbólico de Laplace[editar]

El operador hiperbólico de Laplace en se define como

Definición de una forma de Maass[editar]

Una fórmula de Maass para el grupo es una función suave de valor complejo en satisfaciendo

Es fácil demostrar que es la forma de cúspide de Maass si y solo si .

llamando a forma de cúspide de Maass.

Relación entre formas de Maass y series de Dirichlet[editar]

Sea una forma Maass. Entonces, si

se tiene que:

Por lo tanto tiene una expansión de Fourier de la forma

con funciones coeficiente

Formas pares e impares de Maass: sea . Entonces i opera en todas las funciones por y conmuta con el laplaciano hiperbólico. Una forma de Maass se llama par, si e impar si . Si f es una forma de Maass, entonces es una forma uniforme de Maass y una forma de Maass impar y cumple que .

Se pueden calcular las funciones coeficiente de manera precisa mediante la función de Bessel .

Definición: la función de Bessel se define como

La integral converge localmente uniformemente absolutamente para en y la desigualdad

se cumple para todo .

Por lo tanto, disminuye exponencialmente para . Además, se tiene que para todo .

Teorema (coeficientes de Fourier de las formas de Maass): sea el valor propio de la forma de Maass correspondiente a Allí existe único excepto por el signo, de modo que Entonces los coeficientes de Fourier de son

Prueba: se tiene que

Por la definición de los coeficientes de Fourier, se obtiene

para

Considerando ambas ecuaciones, se deduce que

para

En (1) se utilizó que el n-ésimo coeficiente de Fourier de es para el primer término sumatorio. En el segundo término se cambió el orden de integración y diferenciación, lo que está permitido ya que f es suave en y. Se obtiene una ecuación diferencial lineal de segundo grado:

por se puede demostrar que para cada solución existen coeficientes únicos con la propiedad

Para cada solución es de la forma

para un único . Aquí y son funciones de Bessel.

Las funciones de Bessel crecen exponencialmente, mientras que las funciones de Bessel decrecen exponencialmente. Junto con la condición 3) de crecimiento polinomial, se obtiene (además ) para un único

Sea

Teorema: la función L de una forma de Maass[editar]

Primero se muestra la -invarianza. Sea

una forma de cúspide de Maass. Se define la función L de como

Entonces la serie converge para y se puede continuar con una función completa en .

Si es par o impar, se obtiene

aquí si es par, y si es impar. Entonces satisface la ecuación funcional

Ejemplo: la serie E de Eisenstein no holomórfica[editar]

La serie de Eisenstein no holomórfica se define para y como

donde es la función Gamma.

La serie converge absolutamente en para y localmente uniformemente en , como se puede demostrar, que la serie

converge absolutamente en Si Más precisamente, converge uniformemente en cada conjunto para cada conjunto compacto y cada

E es una forma de Maass[editar]

Solo se muestra -invarianza y la ecuación diferencial. Una prueba de la suavidad se puede encontrar en Deitmar o Bump. La condición de crecimiento se deriva de la expansión de Fourier de la serie de Eisenstein.

Prueba: el grupo es generado por los elementos de la forma

el grupo estabilizador correspondiente a la operación de en .

Proposición. E es -invariante.

Prueba. Definir:

(a) converge absolutamente en para y

Dado que

se obtiene

Eso prueba la convergencia absoluta en para

Además, se deduce que

dado que la aplicación

es una biyección, se sigue (a).

(b) Se tiene para todo .

Para se obtiene

.

Junto con (a), también es invariante bajo .

Proposición. E es una forma propia del operador hiperbólico de Laplace

Se necesita el siguiente lema:

Lema: conmuta con la operación de en . Más precisamente, para todo se tiene que:

Se calcula la condición de estos generadores y se obtiene la de todos los .

Dado que , es suficiente demostrar la ecuación diferencial para Se tiene que:

Además,

Dado que el operador de Laplace conmuta con la operación de , se obtiene que

y entonces

Por lo tanto, la ecuación diferencial se cumple para E en Para obtener el cumplimiento de todo considerar la función Al calcular explícitamente la expansión de Fourier de esta función, obtenemos que es meromórfica. Ya que se desvanece por debe ser la función cero por el teorema de identidad.

Expansión de Fourier de E[editar]

La serie de Eisenstein no holomórfica tiene una expansión de Fourier

donde

Si , tiene una continuación meromórfica en . Es holomorfo, excepto para polos simples en .

La serie de Eisenstein satisface la ecuación funcional

para todos los .

Localmente uniformemente en mantiene la condición de crecimiento

donde .

La continuación meromórfica de E es muy importante en la teoría espectral del operador hiperbólico de Laplace.

Formas de Maas de peso k[editar]

Subgrupos de congruencia[editar]

Para , sea el núcleo de la proyección canónica

Se denomina a subgrupo de congruencia principal de nivel . Un subgrupo se llama subgrupo de congruencia, si existe , de modo que . Todos los subgrupos de congruencia son discretos.

Sea

Para un subgrupo de congruencia , y sea la imagen de en . Si S es un sistema de representantes de , entonces

es un dominio fundamental para . El conjunto está determinado únicamente por el dominio fundamental . Además, es finito.

Los puntos para se denominan cúspides del dominio fundamental . Son un subconjunto de .

Para cada cúspide existe con .

Formas de Maass de peso k[editar]

Sea un subgrupo de congruencia y .

Se define el operador hiperbólico de Laplace de peso como

Esta es una generalización del operador hiperbólico de Laplace .

Ahora, se define una operación de en por

donde

Se puede demostrar que

se aplica a todos los y a todos los .

Por lo tanto, opera en el espacio vectorial

.

Definición. Una forma de Maass de peso para es una función que es una función propia de y tiene un crecimiento moderado en las cúspides.

El término crecimiento moderado en las cúspides necesita aclaración. Una cúspide en el infinito de , una función tiene un crecimiento moderado en si está limitado por un polinomio en y como . Sea otra cúspide. Entonces existe con . Sea a su vez . Entonces , donde es el subgrupo de congruencia . Se dice que tiene un crecimiento moderado en la cúspide , si tiene un crecimiento moderado en .

Definición. Si contiene un subgrupo de congruencia principal de nivel , se dice que es cúspide en el infinito, si

Se dice que es cuspidal en la cúspide si es cúspide en el infinito. Si es cuspidal en cada cúspide, se dice que es una forma de cúspde.

Damos un ejemplo simple de una forma de Maass de peso para el grupo modular:

Ejemplo. Sea una forma modular de peso par para Entonces es una forma de Maass de peso para el grupo .

Problema espectral[editar]

Sea un subgrupo de congruencia de y sea el espacio vectorial de todas las funciones medibles con para todos los que satisfagan

funciones de módulo con La integral está bien definida, ya que la función es -invariante. Este es un espacio de Hilbert con producto interno

El operador se puede definir en un espacio vectorial que es denso en . Allí es un operador simétrico semidefinito positivo. Se puede demostrar que existe una continuación única autoadjunta en

Se define como el espacio de todas las formas de cúspide Entonces, opera en y tiene un espectro discreto. El espectro perteneciente al complemento ortogonal tiene una parte continua y se puede describir con la ayuda de la serie de Eisenstein no holomórfica (modificada), sus continuaciones meromórficas y sus residuos. (Véase Bump o Iwaniec).

Si es un subgrupo discreto (sin torsión) de , de modo que el cociente es compacto, el problema espectral se simplifica. Esto se debe a que un subgrupo discreto cocompacto no tiene cúspides. Aquí todo el espacio es una suma de espacios propios.

Embebido en el espacio [editar]

es un grupo unimodular localmente compacto con la topología de Sea un subgrupo de congruencia. Dado que es discreto en , también está cerrado en . El grupo es unimodular y dado que la medida de conteo es una medida de Haar en el grupo discreto , también es unimodular. Por la Fórmula Integral del Cociente existe una medida de Radon invariante a la derecha en el espacio localmente compacto . Sea sea el espacio correspondiente. Este espacio se descompone en una suma directa espacial de Hilbert:

donde

y

El espacio de Hilbert puede integrarse isométricamente en el espacio de Hilbert . La isometría viene dada por la aplicación

Por lo tanto, todas las formas de cúspide de Maass para el grupo de congruencia pueden considerarse elementos de .

es un espacio de Hilbert con una operación del grupo , la llamada representación regular recta:

Se puede demostrar fácilmente que es una representación unitaria de en el espacio de Hilbert. La descomposición en subrepresentaciones irreducibles solo es posible si es cocompacto. Si no, también hay una parte continua integral de Hilbert. La parte interesante es que la solución de este problema también resuelve el problema espectral de las formas de Maass. (véase Bump, C. 2.3)

Forma de Maass de cúspide[editar]

Una forma de Maass de cúspide, un subconjunto de una forma de Maass, es una función en el semiplano superior que se transforma como una forma modular pero no necesita ser holomórfica. Primero fueron estudiadas por Hans Maass en Maass (1949).

Definición[editar]

Supóngase que k sea un número entero, s un número complejo y G un grupo discreto de SL2(R). Una forma de Maass de peso k para G con el valor propio de Laplace s es una función suave del semiplano superior a los números complejos que satisfacen las siguientes condiciones:

  • Para todos los y todos los , tenemos
  • Se tiene que , donde es el peso k hiperpólico Laplaciano definido como
  • La función tiene como máximo un crecimiento polinómico en las cúspides.

Una forma de Maass débil se define de manera similar pero con la tercera condición reemplazada por "la función tiene como máximo un crecimiento exponencial lineal en las cúspides". Además, se dice que es armónica si es anulada por el operador laplaciano.

Principales resultados[editar]

Sea una forma de Maass de cúspide de peso 0. Su coeficiente de Fourier normalizado en un primer p está limitado por p7/64 + p-7/64. Este teorema se debe a Henry Kim y Peter Sarnak. Es una aproximación a la conjetura de Ramanujan–Petersson.

Dimensiones superiores[editar]

Las formas de Maass de cúspide pueden considerarse formas automorfas en GL(2). Es natural definir formas de Maass de cúspide en GL(n) como formas automorfas esféricas en GL (n) sobre el campo de los números racionales. Miller, Mueller, etc. probaron su existencia.

Representaciones automorfas del grupo adele[editar]

Grupo [editar]

Sea un anillo conmutativo con unidad y sea el grupo de matrices definido sobre y con determinante invertible. Sea el anillo de adeles racionales, sea el anillo de los adeles finitos (racionales); y para un número primo , sea el campo de números p-ádicos. Además, sea el anillo de los enteros p-ádicos (véaseanillo adele). Definido , tanto como son grupos unimodulares localmente compactos si se equipan respectivamente con las topologías de subespacio de y de . Entonces:

El lado derecho es el producto restringido, relativo a los subgrupos compactos y abiertos de . Luego, el grupo localmente compacto , si se equipa con la topología de producto restringida.

El grupo es isomorfo a

y es un grupo localmente compacto con la topología del producto, ya que y son ambos localmente compactos.

Sea

El subgrupo

es un subgrupo abierto máximo compacto de y puede considerarse como un subgrupo de , cuando se tiene en cuenta la incorporación de .

Se define como el centro de , lo que significa que es el grupo de todas las matrices diagonales de la forma , donde . Se puede pensar en como un subgrupo de , ya que se puede integrar el grupo por .

El grupo está embebido diagonalmente en , lo que es posible, ya que las cuatro entradas de un solo pueden tener una cantidad finita de divisores primos y, por lo tanto, para todos, pero finitamente, muchos números primos .

Sea el grupo de todos los con (véase anillo adele para una definición del valor absoluto de un idele). Se puede calcular fácilmente que es un subgrupo de .

Con la aplicación uno a uno se pueden identificar los grupos y entre sí.

El grupo es denso en y discreto en . El cociente no es compacto, pero tiene una medida de Haar finita.

Por lo tanto, es una red de similar al caso clásico del grupo modular y . Por análisis armónico también se obtiene que es unimodular. En conclusión: Me la pelas. (solo lo edité por diversión(no cambié nada más)).

Adelización de cúspides[editar]

Ahora se desea incorporar las formas de Maass clásicas de cúspide de peso 0 para el grupo modular en . Esto se puede lograr con el "teorema de aproximación fuerte", que establece que la aplicación

es un homeomorfismo equivalente . Entonces se obtiene

y además

Las cúspides de Maass de peso 0 para el grupo modular pueden integrarse en

Por el teorema de aproximación fuerte, este espacio unitario es isomorfo a

que es un subespacio de

Del mismo modo, se pueden incorporar las formas de cúspide holomorfas clásicas. Con una pequeña generalización del teorema de aproximación, se pueden incorporar todas las formas de cúspide de Maass (así como las cúspides holomorfas) de cualquier peso para cualquier subgrupo de congruencia en .

recibe el nombre de espacio de las formas automorfas del grupo adele.

Formas de cúspide del grupo adele[editar]

Sea un anillo en , y sea el grupo de todos donde . Este grupo es isomorfo al grupo aditivo de R.

Se llama a una función forma cúspide, si

se cumple para casi todos los . Sea (o simplemente ) el espacio vectorial de estas formas de cúspide. es un subespacio cerrado de y es invariable bajo la representación regular correcta de

Es posible la descomposición de en subespacios cerrados irreducibles.

Se tiene el siguiente teorema:

El espacio se descompone en una suma directa de espacios de Hilbert irreducibles con multiplicidades finitas :

El cálculo de estas multiplicidades es uno de los problemas más importantes y más difíciles en la teoría de las formas automorfas.

Representaciones cuspidales del grupo adele[editar]

Una representación irreducible del grupo se llama cuspidal, si es isomórfica a una subrepresentación de ist.

Una representación irreducible del grupo se llama admisible si existe un subgrupo compacto de , de modo que para todos los .

Se puede demostrar que toda representación cuspidal es admisible.

La admisibilidad es necesaria para probar el llamado Teorema de aplicación del producto tensorial (Tensorprodukt-Theorem anzuwenden), que dice que toda representación irreducible, unitaria y admisible del grupo es isomorfa a un producto tensorial infinito.

Los son representaciones irreducibles del grupo . Casi todos necesitan ser no ramificados.

(Una representación del grupo se llama no ramificada, si el espacio vectorial

no es el espacio cero)

La construcción de un producto tensorial infinito se puede encontrar en Deitmar, C.7.

Funciones L automorfas[editar]

Sea una representación unitaria irreducible y admisible de . Según el teorema del producto tensorial, tiene la forma (véase representaciones cuspidales del grupo adele).

Sea un conjunto finito de lugares que contengan y todos los lugares ramificados. Se define la función global de Hecke de como

donde es una llamada función L local de la representación local . Se puede encontrar una construcción de funciones L locales en Deitmar C. 8.2.

Si es una representación cúspide, la función L tiene una continuación meromórfica en . Esto es posible, ya que satisface ciertas ecuaciones funcionales.

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]