Extensión HNN

En matemáticas se llama extensión HNN a una construcción en el área de teoría de grupos. La teoría de extensiones HNN es fundamental en el estudio combinatorio y geométrico de grupos.​ Las extensiones HNN junto a los productos amalgamados forman la base de la teoría de Bass-Serre.

Fueron introducidos por Graham Higman, Bernhard Neumann y Hanna Neumann en 1949 en el artículo Embedding Theorems for Groups.​ En este artículo también se prueban otros resultados interesantes relativos a grupos.

Definición

Una extensión HNN de un grupo G es la inmersión de dicho grupo en otro grupo H de forma que dos subgrupos isomorfos K y J de G son conjugados (por un isomorfismo dado previamente) en H.

Si $G$ tiene la presentación $\langle S|R\rangle$ y $\alpha :J\rightarrow K$ es un isomorfismo entre dos subgrupos de $G$ entonces la extensión HNN de $G$ respecto de $\alpha$ (que se nota $G*_{\alpha }$) tiene la siguiente presentación:

$\langle S,t\ |\ R,\ tjt^{-1}=\alpha (j)\ \forall j\in J\rangle$

Dado que el grupo $G*_{\alpha }$ contiene los generadores y las relaciones de $G$, resulta clara la existencia de un morfismo de $G$ en $G*_{\alpha }$, lo que prueban Higman, Neumann y Neumann en su artículo es que dicho morfismo es inyectivo.

Una consecuencia directa de este resultado es que cualquier isomorfismo entre dos subgrupos de un grupo G puede verse en una extensión H del mismo como un isomorfismo interno (o sea que ambos subgrupos resultan conjugados en H).

El lema de Britton, probado en 1963 en "The word problem"​ da una forma de identificar los elementos de una extensión HNN que no son la identidad.

Cualquier elemento $w\in G*_{\alpha }$ puede escribirse como:

$w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1$

Lema de Britton Sea w tal que

• n = 0 y g₀ ≠ 1 ∈ G, o
• n > 0 y en w no aparecen subpalabras de la forma tjt⁻¹, con j ∈ J y de la forma t⁻¹kt con k ∈ K,

entonces w ≠ 1 ∈ G∗_α.

Enlaces externos

• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/HNN-extension

• Datos: Q3062521