Combinación lineal

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Un vector \ x se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores \ A = \{ x_1, x_2, x_3,...,x_n \}\in (V,\mathbb{K}) si se puede expresar como suma de los vectores de \ A multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar \ a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{K}, es decir:

\ x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = \sum_{i=1}^n a_i x_i.

Así, \ x es combinación lineal de vectores de \ A si podemos expresar \ x como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de \ A.

Ejemplo:

El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):


\begin{pmatrix} 20 \\ 12 \\ 37 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}.


Otro ejemplo:

2x + 3y - 2z = 0 : Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir z = x + \frac{3}{2} y sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto \ A necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector \ x en cuestión.

Expansión lineal[editar]

Dado un conjunto de vectores A\,, finito o infinito, se llama expansión lineal, denotada como \mbox{span}(A) al conjunto:[cita requerida]

\mbox{span}(A) = \{v\in V_\mathbb{K} | \exists a_1,\dots a_n\in \mathbb{K}, \exists x_1,\dots x_n \in V_\mathbb{K}: v = \sum_{i=1}^n a_ix_i \}

Dicho conjunto es el mínimo subespacio vectorial de V_\mathbb{K} que contiene al conjunto A\,.

Véase también[editar]