Elemento simétrico

En Álgebra abstracta, si tenemos conjunto $A\,$ en el que se ha definido una Operación matemática $\circ$, que anotamos: $(A,\circ )\,$, siendo la operación $\circ$, interna en $A\,$:

${\begin{array}{rcl}\circ :\;A\times A&\to &A\\(a,b)&\to &c=a\circ b\end{array}}$

Con elemento neutro $e\,$,

$\forall a\in A,\quad \exists e\in A:\quad a\circ e=e\circ a=a$

Se dice que un elemento $a\in A$ tiene:

elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación $\circ$ si:

$a\in A,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A:\quad {\overrightarrow {a}}\circ a=e$

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación $\circ$ si:

$a\in A,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A:\quad a\circ {\overleftarrow {a}}=e$

elemento simétrico respecto de la operación $\circ$ si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

$a\in A,\quad \exists {\bar {a}}\in A:\quad {\bar {a}}\circ a=a\circ {\bar {a}}=e$

Un elemento simétrico ${\bar {a}}$ de $A\,$ es simétrico por la derecha del elemento $a\,$ y simétrico por la izquierda del elemento $a\,$.

Notación

Notación aditiva

Cuando la operación se denota por "+" (más), se denomina suma o adición.

la suma de Número entero: Z, es interna

$\forall a,b\in Z:\quad a+b\in Z$

En ese caso, al elemento neutro se le denomina cero y se le denota por "0",

$\forall a\in Z,\quad \exists 0\in Z:\quad a+0=0+a=a$

y al elemento simétrico de $a\,$ se le denomina elemento opuesto de $a\,$ y se le denota por: $-a\,$.

Así partiendo de los números entero: Z, y la operación suma: +, tenemos que:

$a\in Z,\quad \exists (-a)\in Z:\quad (-a)+a=a+(-a)=0$

Notación multiplicativa

Cuando la operación se denota por "·" (por), se denomina producto o multiplicación. La multiplicación de Número racional: Q, es interna

$\forall a,b\in Q:\quad a\times b\in Q$

En ese caso, al elemento neutro se le denomina uno o unidad y se le denota por "1":

$\forall a\in Q,\quad \exists 1\in Q:\quad a\times 1=1\times a=a$

y al elemento simétrico de $a\,$ se le denomina elemento inverso de $a\,$ y se le denota por $a^{-1}\,$ o por ${\frac {1}{a}}$

Partiendo de los números racional: Q y de la operación multiplicación, tenemos:

$a\in Q,\quad \exists {\frac {1}{a}}\in Q:\quad {\frac {1}{a}}\times a=a\times {\frac {1}{a}}=1$

Véase también

• Operación matemática
• Elemento neutro
• Número
• Opuesto
• Inverso multiplicativo