Recta real extendida

En matemática, la recta real extendida o recta real acabada, se obtiene a partir de los números reales R por la añadidura de dos elementos: +∞ y −∞ (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: ∞ (infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales. Son útiles para describir varios comportamientos al límite en cálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración. La recta real extendida se denota por R o bien [−∞, +∞].

Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo +∞ suele escribirse simplemente como ∞.

Definiciones

Límites

Suele describirse el comportamiento de una función f(x), cuando o bien el argumento x o el valor de la función f(x) se vuelve «muy grande» en algún sentido.

Por ejemplo, la función $f(x)=x^{-2}.$

La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en f(x) = 0. Geométricamente, cuanto más nos movemos hacia la derecha sobre el eje x, el valor de 1/x² se aproxima a 0. Este comportamiento al límite es similar al del límite de una función en un número real, excepto que ahí no hay número real hacia el cual x se aproxima.

Añadiéndole los elementos +∞ y −∞ a R, se permite la formulación de "límite al infinito" con propiedades topológicas similares a las de R.

Para ser completamente formales, la definición de R en términos de sucesiones de Cauchy, permite definir +∞ como el conjunto de todas las sucesiones de racionales que, para todo K>0, se excede K en algún punto. Se puede definir −∞ similarmente.

Medida e integración

En teoría de la medida, se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito.

Tales medidas surgen naturamente del cálculo. Por ejemplo, si se le asigna una medida a R correspondiente con la longitud usual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. También, si se consideran integrales no acotadas, como

$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}$

surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de una sucesión de funciones, como

$f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}$

Si no permitiesen valores infinitos a funciones, resultados tan esenciales como el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada no tendrían sentido.

Orden y propiedades topológicas

La recta real extendida se vuelve un conjunto totalmente ordenado definiendo −∞ ≤ a ≤ +∞ para todo a. Este orden tiene la agradable propiedad de que todo subconjunto tiene un supremo y un ínfimo: conforma un retículo completo.

Esto induce un orden topológico sobre R. En esta topología, un conjunto U es una vecindad de +∞ si y solo si contiene un conjunto {x : x > a} para algún número real a, y análogamente para las vecindades de −∞. R es un espacio de Hausdorff compacto homeomorfo al intervalo unidad [0, 1]. Luego esta topología es metrizable, corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica usual en este intervalo. No hay una métrica que sea una extensión de la métrica usual sobre R.

Con esta topología, se pueden definir especialmente los límites para x tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se reducen a la definición topológica general de límites.

Propiedades aritméticas

Las propiedades aritméticas de R pueden extenderse parcialmente a R del siguiente modo:

${\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in \mathbb {R} ^{+}\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in \mathbb {R} ^{-}\end{aligned}}$

Aquí, "a + ∞" significan ambos "a + (+∞)" y "a − (−∞)", y "a − ∞" significan ambos "a − (+∞)" y "a + (−∞)".

Las expresiones ∞ − ∞, 0 × (±∞) y ±∞ / ±∞ (llamadas formas indeterminadas) son usualmente indefinidas a la izquierda. Son reglas modeladas por las leyes de los límites infinitos. No obstante, en el contexto de la probabilidad o teoría de la medida, 0 × (±∞) se define a menudo como 0.

La expresión 1/0 no se define ni como +∞ ni como −∞, porque aunque es cierto que cuando f(x) → 0 para una función continua f(x) debe suceder que 1/f(x) está eventualmente contenida en todo vecinaje del conjunto {−∞, +∞}, no es cierto que 1/f(x) deben tender a uno de estos puntos. Un ejemplo es f(x) = 1/(sin(1/x)), su módulo es 1/| f(x) |, sin embargo, no se aproxima a +∞.

Propiedades algebraicas

Con estas definiciones, R no es un cuerpo y ni siquiera un anillo. No obstante, tiene las sugiuentes propiedades convenientes:

• a + (b + c) y (a + b) + c son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
• a + b yb + a son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
• a × (b × c) y (a × b) × c son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
• a × b yb × a son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
• a × (b + c) y (a × b) + (a × c) son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
• if a ≤ b y si ambos a + c yb + c están definidos, entonces a + c ≤ b + c.
• if a ≤ b yc > 0 y ambos a × c y b × c están definidos, entonces a × c ≤ b × c.

En general, todas las leyes de la aritmética serán válidas en R siempre y cuando las expresiones que intervienen estén definidas.

Véase también

• División por cero
• Esfera de Riemann
• Integral impropia
• Serie matemática

Referencias

• David W. Cantrell. «Affinely Extended Real Numbers». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.