Diferencia entre revisiones de «Recta real extendida»
m mantenimiento |
m mantenimiento |
||
Línea 21: | Línea 21: | ||
En [[teoría de la medida]], se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito. |
En [[teoría de la medida]], se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito. |
||
Tales medidas surgen naturamente del cálculo. Por ejemplo, si se le asigna una ''medida'' a '''R''' correspondiente con la longitud usual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. También, si se consideran integrales |
Tales medidas surgen naturamente del cálculo. Por ejemplo, si se le asigna una ''medida'' a '''R''' correspondiente con la longitud usual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. También, si se consideran integrales no acotadas, como |
||
:<math>\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}</math> |
:<math>\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}</math> |
||
surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de |
surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de una sucesión de funciones, como |
||
:<math>f_n(x) = \begin{cases} 2n(1-nx), & \mbox{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{if } \frac{1}{n} < x \le 1\end{cases}</math> |
:<math>f_n(x) = \begin{cases} 2n(1-nx), & \mbox{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{if } \frac{1}{n} < x \le 1\end{cases}</math> |
||
Si no |
Si no permitiesen valores infinitos a funciones, resultados tan esenciales como el [[teorema de convergencia monótona]] y el [[teorema de convergencia dominada]] no tendrían sentido. |
||
== Orden y propiedades topológicas == |
== Orden y propiedades topológicas == |
||
La recta real extendida se vuelve un [[Orden total|conjunto totalmente ordenado]] definiendo −∞ ≤ ''a'' ≤ +∞ para todo ''a''. Este orden tiene la agradable propiedad que todo subconjunto tiene un [[supremo]] y un [[ínfimo]]: |
La recta real extendida se vuelve un [[Orden total|conjunto totalmente ordenado]] definiendo −∞ ≤ ''a'' ≤ +∞ para todo ''a''. Este orden tiene la agradable propiedad de que todo subconjunto tiene un [[supremo]] y un [[ínfimo]]: conforma un [[retículo completo]]. |
||
Esto induce un [[orden topológico]] sobre '''{{Overline|R}}'''. En esta topología, un conjunto ''U'' es una [[Entorno (matemática)|vecindad]] de +∞ si y solo si contiene un conjunto {''x'' : ''x'' > ''a''} para algún número real ''a'', y análogamente para las vecindades de −∞. '''{{Overline|R}}''' es un [[espacio de Hausdorff]] [[Espacio compacto|compacto]] [[Homeomorfismo|homeomorfo]] al [[intervalo unidad]] [0, 1]. Luego esta topología es [[ |
Esto induce un [[orden topológico]] sobre '''{{Overline|R}}'''. En esta topología, un conjunto ''U'' es una [[Entorno (matemática)|vecindad]] de +∞ si y solo si contiene un conjunto {''x'' : ''x'' > ''a''} para algún número real ''a'', y análogamente para las vecindades de −∞. '''{{Overline|R}}''' es un [[espacio de Hausdorff]] [[Espacio compacto|compacto]] [[Homeomorfismo|homeomorfo]] al [[intervalo unidad]] [0, 1]. Luego esta topología es [[Espacio métrico#Espacios metrizables|metrizable]], corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica usual en este intervalo. No hay una métrica que sea una extensión de la métrica usual sobre '''R'''. |
||
Con esta topología, se pueden definir especialmente los [[Límite de una función|límites]] para ''x'' tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se |
Con esta topología, se pueden definir especialmente los [[Límite de una función|límites]] para ''x'' tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se reducen a la definición topológica general de límites. |
||
== Propiedades aritméticas == |
== Propiedades aritméticas == |
Revisión del 14:46 25 ago 2011
En matemática, la recta real extendida o recta real acabada, se obtiene a partir de los números reales R por la añadidura de dos elementos: +∞ y −∞ (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: ∞ (infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales. Son útiles para describir varios comportamientos al límite en cálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración. La recta real extendida se denota por R o bien [−∞, +∞].
Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo +∞ suele escribirse simplemente como ∞.
Definiciones
Límites
Suele describirse el comportamiento de una función f(x), cuando o bien el argumento x o el valor de la función f(x) se vuelve «muy grande» en algún sentido. Por ejemplo, la función
La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en f(x) = 0. Geométricamente,cuanto más nos movemos hacia la derecha por el eje x, el valor de 1/x2 se aproxima a 0. Este comportamiento al límite es similar al del límite de una función en un número real, excepto que ahí no hay número real hacia el cual x se aproxima.
Añadiéndole los elementos +∞ y −∞ a R, se permite la formulación de "límite al infinito" con propiedades topológicas similares a las de R.
Para ser completamente formales, la definición de R en términos de sucesiones de Cauchy, permite definir +∞ como el conjunto de todas las sucesiones de racionales que, para todo K>0, se excede K en algún punto. Se puede definir −∞ similarmente.
Medida e integración
En teoría de la medida, se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito.
Tales medidas surgen naturamente del cálculo. Por ejemplo, si se le asigna una medida a R correspondiente con la longitud usual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. También, si se consideran integrales no acotadas, como
surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de una sucesión de funciones, como
Si no permitiesen valores infinitos a funciones, resultados tan esenciales como el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada no tendrían sentido.
Orden y propiedades topológicas
La recta real extendida se vuelve un conjunto totalmente ordenado definiendo −∞ ≤ a ≤ +∞ para todo a. Este orden tiene la agradable propiedad de que todo subconjunto tiene un supremo y un ínfimo: conforma un retículo completo.
Esto induce un orden topológico sobre R. En esta topología, un conjunto U es una vecindad de +∞ si y solo si contiene un conjunto {x : x > a} para algún número real a, y análogamente para las vecindades de −∞. R es un espacio de Hausdorff compacto homeomorfo al intervalo unidad [0, 1]. Luego esta topología es metrizable, corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica usual en este intervalo. No hay una métrica que sea una extensión de la métrica usual sobre R.
Con esta topología, se pueden definir especialmente los límites para x tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se reducen a la definición topológica general de límites.
Propiedades aritméticas
Las propiedades aritméticas de R pueden extenderse parcialmente a R del siguiente modo:
Véase también
Referencias
- David W. Cantrell. «Affinely Extended Real Numbers». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.