Espacio compacto

En matemática, más específicamente topología, un espacio compacto es un espacio que contiene todos sus posibles puntos límites. El ejemplo paradigmático de espacio compacto es un intervalo cerrado de la recta, y más en general cualquier conjunto cerrado y acotado del espacio euclídeo. Un ejemplo de espacio no compacto es la recta real, pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito. Otro ejemplo es el conjunto de los números racionales, pues uno puede acercarse arbitrariamente a puntos que faltan.

Compacidad en el Espacio Euclideo

Un subconjunto $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ es compacto si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

1. HB: todo cubrimiento por abiertos admite un subcubrimiento finito.
2. PIF: si una familia de cerrados cumple que de a finitos se intersecan, entonces todos ellos se intersecan.
3. toda sucesión en $A$ admite una subsucesión convergente.

Compacidad en Espacios Métricos

La compacidad en espacios métricos se define del mismo modo: $(E,d)$ es compacto si satisface alguna de las tres condiciones anteriores. El teorema de Heine-Borel admite en este contexto la siguiente variación: un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.

Definición general

En topología, un espacio topológico $X$ se dice compacto si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

1. HB: Todo cubrimiento abierto de $X$ admite un subcubrimiento finito.
2. PIF: Si $\{F_{i}\}_{i\in I}$ es una familia de cerrados en $X$ tal que $\cap _{finitos}F_{i}\neq \emptyset$, entonces $\cap _{todos}F_{i}\neq \emptyset$.
3. Toda red en $X$ admite una subred convergente.
4. La función al punto $X\to \ast$ es propia.

Teorema de Arzelá-Ascoli

El teorema de Heine-Borel da una caracterización útil en los espacios vectoriales normados de dimensión finita: $K$ es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad. Un resultado importante en los espacios de funciones continuas es el teorema de Arzelá-Ascoli.

Cuasicompacidad

Sea $(X,\tau )$ un espacio topológico con su topología asociada. $X$ es quasi-compacto si para todo recubrimiento por abiertos de $X$, es decir, $\forall \{U_{i}\}_{i\in I},U_{i}\in \tau$, existe un subrecubrimiento finito del mismo, es decir, $\{U_{j}\}_{j\in J}$, $J\subset I$ y $J$ es un conjunto finito.

Véase también

• Localmente compacto.
• Soporte compacto.