Función cuadrática

Una función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$

donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.

la representación gráfica en el plano xy haciendo:

$y=f(x)\,$

esto es:

$y=ax^{2}+bx+c\,$

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Estudio de la función

Corte con el eje y

La función corta el eje munera y es el mejor en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y=f(0)=a*0^{2}+b*0+c\,$

lo que resulta:

$y=f(0)=c\,$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

donde:

$(b^{2}-4ac)\,$

se le llama discriminante, D:

$D=b^{2}-4ac\,$

según el signo del discriminante podemos distinguir:

• D > 0

La ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1, x2

• D = 0

La ecuación tiene una solución, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, en la cual es tangente a este eje donde las dos ramas de la parábola confluyen.

• D < 0

La ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

$y=ax^{2}+bx+c\,$

calculamos su derivada respecto a x:

${\frac {dy}{dx}}=2ax+b$

que si la igualamos a cero, tenemos:

$2ax+b=0\,$

donde x valdrá:

$x={\frac {-b}{2a}}$

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrara el valor máximo o mínimo de la función.

Véase también

Polinomio

Función constante

Función lineal

Funciones matemáticas

Geometría analítica

Pendiente de una recta