Gráfica de una función

En matemáticas, la gráfica de una función f:X → Y es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación inconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma únivoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.

Ejemplos

Gráfica de la función x³-9x.

• La gráfica de la función

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{si }}x=1\\d,&{\mbox{si }}x=2\\c,&{\mbox{si }}x=3.\end{matrix}}\right.$

es {(1,a), (2,d), (3,c)}.

• La gráfica del polinomio cúbico en la recta real

$f(x)={{x^{3}}-9x}\!\$

es {(x,x³-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

Método para representar la gráfica de una función de una variable

Para dibujar, construir o representar la gráfica de una función f se pueden seguir los pasos siguientes:

1. Buscar el dominio de la función, Dom f(x)
2. Se detectan aquellos valores x reales en que f sea discontinua, es decir, aquellos que no estén definidos en el dominio, y se procede a estudiar los límites cuando x tiene a x por la izquierda y por la derecha. De este modo, si x es un punto aislado y no un intervalo, se puede deducir hacia dónde tiende la función cuando pasa cerca del punto x.
3. Buscar los límites cuando x tiende a infinito o menos infinito, para averiguar cuándo en el eje de abscisas se tiende al resultado del límite.
4. Estudio de la monotonía. Calculando la primera derivada f'(x) e igualándola a cero, se obtienen los posibles candidatos a extremos de la función. Luego se procede a determinar si f(x) es creciente o decreciente entre dos puntos extremos.
5. Se estudia la curvatura de f, igualando a cero esta vez la segunda derivada f(x), obteniéndose los posibles puntos de inflexión. Se estudia el signo en la f(x) en los intervalos, y así, sea x uno de estos puntos:

Si f(x) es negativa, entonces f(x) es cóncava

Si f(x) es positiva, entonces f(x) es convexa.

Véase también

• Punto crítico
• Derivada
• Epigrafo
• Pendiente

Herramientas para dibujar la gráfica de una función

• Calculadora gráfica
• Osciloscopio

Enlaces externos

• Algunosapplets Java para funciones reales
• Weisstein, Eric W. "Function Graph." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.