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La notación de escritura usando la abreviatura '''lim''' con la flecha debajo es debido a [[G. H. Hardy|Hardy]] en su libro ''A Course of Pure Mathematics'' en 1908.<ref name="Miller" /> |
La notación de escritura usando la abreviatura '''lim''' con la flecha debajo es debido a [[G. H. Hardy|Hardy]] en su libro ''A Course of Pure Mathematics'' en 1908.<ref name="Miller" /> |
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l límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático. |
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Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p. |
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Contenido |
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* 1 Historia |
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* 2 Definición formal |
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o 2.1 Funciones en espacios métricos |
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* 3 Notación de límite |
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o 3.1 Límite de una función en un punto |
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* 4 Indeterminaciones |
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* 5 Propiedades de los límites |
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* 6 Véase también |
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* 7 Referencias |
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Historia [editar] |
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Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. |
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La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2] |
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Definición formal [editar] |
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Funciones en espacios métricos [editar] |
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Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite. |
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\begin{array}{l} \underset {x\to p}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \\ \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 : \\ \forall x(0<|x-p|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon) \end{array} |
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El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - p| < δ, tenemos que |f(x) - L| < ε |
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El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto. |
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Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos |
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\lim_{x \to p}f(x) = L |
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si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, p) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε. |
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En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x: |
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si 0 < \left| x - a \right| < \delta , entonces \left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon |
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Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente: |
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x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues |
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0 < | x - a | implica x distinto de a, |
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mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente: |
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y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ). |
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Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon. |
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Notación de límite [editar] |
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Límite de una función en un punto [editar] |
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Sea f una función real, entonces |
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\lim_{x \to p}f(x) = L (x,L\in{\mathbb{R}}) |
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si y sólo si |
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para todo \varepsilon>0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en el dominio de la función |
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0 < |x-p| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon |
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Notación formal: \forall \varepsilon >0, \exists {\delta >0} / \forall_{x\in\mathbb{D}}\ 0< |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|< \varepsilon |
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Indeterminaciones [editar] |
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Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos: |
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\begin{array}{ll} \infty - \infty \\ \\ \cfrac{\infty}{\infty} & \cfrac{0}{0} \\ \\ \infty \cdot 0 & 1^\infty \\ \\ \infty ^0 & 0^0 \end{array} |
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* Nota: \infty \,\! se refiere al límite que tiende infinito y 0 \,\! al límite cuando tiende 0 (no al número 0). |
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Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes: |
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\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1 \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=0 |
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Propiedades de los límites [editar] |
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Si k es un escalar: |
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1. \lim_{x \to p} k =\, k\, |
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2. \lim_{x \to p} x = \, p \, |
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3. \lim_{x \to p} kf(x) =\, k\lim_{x \to p} f(x)\, |
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4. \lim_{x \to p} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) + \lim_{x \to p} g(x)\, |
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5. \lim_{x \to p} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) - \lim_{x \to p} g(x)\, |
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6. \lim_{x \to p} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) \cdot \lim_{x \to p} g(x)\, |
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7. \lim_{x \to p} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to p} {f(x)}} \over {\lim_{x \to p} {g(x)}}}\,\ si\ g(x) \ne 0 \ y \lim_{x \to p} g(x) \ne 0, |
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8. {\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, e |
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9. {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e |
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10. {\lim_{x \to \infty} x \; \sin \left (\frac {2\pi}{x} \right ) \cos \left (\frac {2\pi}{x} \right )} =\,2\pi |
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11. {\lim_{x \to 0} {{\operatorname{sen}x} \over x}} =\, 1 \, = {\lim_{x \to 0} {{x \over \operatorname{sen}x}}} |
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12. {\lim_{x \to 0} {\tan x \over x}} =\, 1 \, = {\lim_{x \to 0} {x \over \tan x}} |
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13. {\lim_{x \to 0} {\operatorname{sen}x \over \tan x}} =\, 1 \, = {\lim_{x \to 0} {\tan x \over \operatorname{sen} x}} |
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14. {\lim_{x \to p} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0 \Leftrightarrow f(x) acotada y g(x) infinitésimo |
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15. {\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos x}{x} } =\, 0 \, |
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Véase también [editar] |
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* Límite matemático |
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* Topología de red, una generalización del concepto de límite. |
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Referencias [editar] |
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1. ↑ MacTutor History of Bolzano |
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2. ↑ a b Jeff Miller's history of math website. |
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3. ↑ MacTutor History of Weierstrass. |
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Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n" |
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Categoría: Análisis real |
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== Definición formal == |
== Definición formal == |
Revisión del 02:39 6 abr 2010
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.
Historia
Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]
Definición formal
Funciones en espacios métricos
El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo > 0 existe un > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - p| < , tenemos que |f(x) - L| <
El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.
Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos
si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, p) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:
si , entonces
Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:
x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues
0 < | x - a | implica x distinto de a,
mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:
y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).
Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.
Notación de límite
Límite de una función en un punto
Sea f una función real, entonces
- ()
- para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función
Notación formal:
Indeterminaciones
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:
* Nota: se refiere al límite que tiende infinito y al límite cuando tiende 0 (no al número 0).
Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:
Propiedades de los límites
Si k es un escalar:
- f(x) acotada y g(x) infinitésimo
Véase también
- Límite matemático
- Topología de red, una generalización del concepto de límite.