Asociatividad (álgebra)

Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna $\circ$, es decir:

$A\circ A\to A$

Se dice que el conjunto A, con la operacion $\circ$, $(A,\circ )$ tiene la propiedad asociativa:

Propiedad asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir: $\forall x,y,z\in A:\quad x\circ (y\circ z)=(x\circ y)\circ z\;$.

Ejemplos

Partiendo del conjunto de los números naturales:

$N=\{1,2,3,4,\dots \}\,$

y la operación suma, podemos ver que: $(N,+)\,$ tiene la propiedad asociativa, dado que:

$\forall a,b,c\in N:\quad a+(b+c)=(a+b)+c\;$

En general, las operaciones no asociativas no despiertan un interés descomunal en la comunidad matemática. Prueba de ello, la apelación de los conjuntos con operaciones a las que no se exige asociatividad: magma... Sin embargo, existen dos notables excepciones: los conjuntos de los octoniones y de los sedeniones, que son extensiones de los cuaterniones.

Véase también

• Conmutatividad
• Relación reflexiva
• Relación simétrica
• Relación transitiva
• Relación antisimétrica