Función de producción de Cobb-Douglas

Función de Producción Cobb-Douglas para capital y trabajo

En economía, la función Cobb-Douglas es una forma de función de producción, ampliamente usada para representar las relaciones entre un producto y las variaciones de los insumos tecnología , trabajo y capital. Fue propuesta por Knut Wicksell (1851-1926) e investigada con respecto a la evidencia estadística concreta, por Charles Cobb y Paul Douglas en 1928.​​​

Capital, Trabajo y Tecnología

El establecimiento de la función partió de la observación empírica de la distribución de la renta nacional total de Estados Unidos entre el capital y el trabajo. Los datos mostraron que se mantenía más o menos constante a lo largo del tiempo y a medida que crecía la producción, la renta del total de los trabajadores crecía en la misma proporción que la renta del conjunto de los empresarios. Douglas solicitó a Cobb establecer una función que resultara en participación constante de los dos factores si ganaban en su producto marginal​. Esta función de producción presenta la forma

$\,Q=A\cdot T^{\alpha }\cdot K^{\beta }$.

donde:

• Q = producción total (el valor monetario de todos los bienes producidos durante un año)
• T = trabajo insumo
• K = capital insumo
• A = factor total de productividad
• α and β son las elasticidades producto del trabajo y el capital, respectivamente. Estos valores son constantes determinadas por la tecnología disponible.

Las elasticidad del producto mide la respuesta del producto a un cambio en los niveles del trabajo o del capital usados en la producción, si permanecen constantes los demás factores. Por ejemplo, si α = 0.15, un aumento del 1% en la cantidad de trabajo, provocaría un incremento aproximado del 0.15% en el volumen del producto.

Así, si:

α + β = 1,

La función de producción tiene economías de escala constantes, es decir que si T y K aumenta cada uno el 20%, Q aumenta también el 20%. Esto significa que la función Cobb-Douglas es homogénea de grado 1 e implica que el costo mínimo es independiente del volumen de la producción y depende sólo de los precios relativos de los factores de producción. Si

α + β < 1,

rendimientos de escala son descendentes, y si

α + β > 1

los rendimientos de escala son crecientes.

Suponiendo competencia perfecta, α y β pueden ser obtenidos como la cuota de T y de K con respecto a Q. Un avance tecnológico que aumenta el parámetro A incrementa proporcionalmente el producto marginal de T y de K.

Evidencia estadística han mostrado que las proporciones de trabajo y capital con respecto al producto total fueron constantes a través del tiempo en los países desarrollados, lo cual explicaron Cobb y Douglas ajustando estadísticamente una regresión de mínimos cuadrados de su función de producción. En Estados Unidos el cociente entre la renta de trabajo y la renta total ha representado alrededor del 0,7 por un largo período y así lo corroboraron los datos obtenidos entre 1960 y 1996​. Esta distribución se explica mediante una función de producción Cobb-Douglas en la cual el parámetro α sea aproximadamente 0,3​.

Dificultades

Actualmente algunos expertos expresan dudas sobre la constancia de esta relación a través del tiempo.​​ Ni Cobb ni Douglas aportaron una razón teórica por la cual los coeficientes α y β deberían mantenerse constantes en el tiempo o entre sectores de la economía. Hay que recordar que la naturaleza de la maquinaria y de otros bienes de capital (K) difiere entre períodos de tiempo y de acuerdo al bien que vaya a producirse. Así también las habilidades o calidades del trabajo (L).

Por otra parte, la función Cobb-Douglas no fue desarrollada en base de ningún conocimiento de la ingeniería, la tecnología, o de la gerencia del proceso de producción. Fue en cambio desarrollada por sus coincidencias con la teoría económica de sus atractivas características matemáticas, tales como la los rendimientos marginales decrecientes de los diferentes factores de producción.

No hay microfoundaciones o análisis del comportamiento de los agentes individuales con respecto a esta función. Los economistas han insistido más recientemente en que hay que explicar la micrológica de un procesos en gran escala, lo cual no logra la función Cobb-Douglas.

Algunas aplicaciones

A pesar de las críticas, la función Cobb-Douglas ha sido aplicada en contextos diferentes a la producción. Ha sido aplicada a la función de utilidad, así:

$\,U(x_{1},x_{2})=\cdot x_{1}^{\alpha }\cdot x_{2}^{\beta }$

donde x₁ y x₂ son las cantidades consumidas de un bien #1 y un bien #2.

La forma general de la función Cobb-Douglas:

$\,q=c\cdot \prod _{i}x_{i}^{a_{i}}$ o $\,c$, $\,a_{i}$ > 0

El índice $i$ corresponde a los factores de producción (por ejemplo las cantidades de trabajo o de capital utilizadas para producir un bien).

Por otra parte, el modelo de crecimiento de Solow​ parte de una función Cobb–Douglas de producción

$\,Q=A\cdot T^{\alpha }\cdot K^{1-\alpha }$

y concluye determinando la importancia crucial de la tecnología para el crecimiento continuado. En la investigación del ciclo económico, los modelos del ciclo real utilizan y profundizan los trabajos de Solow.​

Representaciones de la función

La función Cobb-Douglas puede ser estimada como una relación lineal usando la siguiente expresión:

$\log _{e}(Q)=a_{0}+\sum _{i}{a_{i}\log _{e}(I_{i})}$

Donde:

• Q = Producto
• I_i = Insumos
• a_i = Coeficientes del modelo

El modelo también puede representarse así:

$Q=(I_{1})^{a_{1}}*(I_{2})^{a_{2}}\cdots$

También puede ser linearizada así:

$\,\ln(y)=\ln(c)+\sum _{i}{a_{i}\cdot \ln(x_{i})}$

$\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha _{i}}$

donce $x_{i}$ son las cantidades consumidas de cada bien i y $\alpha _{i}$ son las elasticidades de la demanda de servicios.

La Función de Producción Logarítmico Transcendental (translog) es una generalización de la función Cobb-Douglas. Los función de producción translog para tres factores es:

$ln(Q)=ln(A)+aT*ln(T)+aK*ln(K)+aM*ln(M)+bTT*ln(T)*ln(T)+bKK*ln(K)*ln(K)+$

$bMM*ln(M)*ln(M)+bLK*ln(T)*ln(K)+bTM*ln(T)*ln(M)+bKM*ln(K)*ln(M)=f(T,K,M)$.

donde T = trabajoe, K = capital, M = materiales y suministros, y Q = product.

Derivada de una función CES

La función de elasticidad de sustitución constante (CES)

$Q=A[\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )T^{\gamma }]^{\frac {1}{\gamma }}$

Cuando $\gamma =0$, la función CES se reducirá a una función Cobb-Douglas, $Q=AK^{\alpha }T^{1-\alpha }$

Prueba:

$\ln(Q)=\ln(A)+{\frac {\ln[\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )T^{\gamma }]}{\gamma }}$

Aplicando la Regla de L'Hôpital: $\lim _{\gamma \rightarrow 0}\ln(Q)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(T)$

Por consiguiente, $Q=AK^{\alpha }T^{1-\alpha }$

Enlaces externos

• Anatomy of Cobb-Douglas Type Production Functions in 3D