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Línea 35: |
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Para resolver la ecuación: |
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Para resolver la ecuación: |
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{{ecuación| |
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<math>\qquad ALE+I=L^4y^3</math> |
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<math>\qquad xy'+y=x^4y^3</math> |
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|*|left}} |
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Se hace el [[cambio de variable]] <math>z=y^{-2}\;</math>, que introducido en {{eqnref|*}} da simplemente: |
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Se hace el [[cambio de variable]] <math>z=y^{-2}\;</math>, que introducido en {{eqnref|*}} da simplemente: |
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:
donde y son funciones continuas en un intervalo
Método de resolución
Caso general
Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:
lleva inmediatamente a las relaciones:
Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:
(2)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:
Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)
Con .
Caso particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)
Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
(5)
Ejemplo
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:
Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :
Véase también