Método de las diferencias finitas

En análisis numérico, el método de las diferencias finitas es utilizado para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.

Ejemplo básico de ecuación de diferencias finitas en economía

Una ecuación sencilla en diferencias finitas

$\ Y_{t+2}-Y_{t}=0$

La solución se ensaya por tanteo o aproximación

$\ Y_{t+2}=r^{2}$

$\ Y_{t}=r$

Sustituyendo en la ecuación inicial

$\ r(r-1)=0\Rightarrow r=1;r=0$

La solución será

$\ Y_{t}=1^{t}$

Resolvemos $Y_{t+2}$

$\ Y_{t+2}=1^{t+2}=1^{t}1^{2}$

Comprobamos si la solución es correcta

$\ 1^{t}-1^{t}=0$

Escribimos la solución general

$\ Y_{t}=c_{1}1^{t}$

$c_{1}$ expresa una combinación lineal de la solución

Si analizamos el Wronskiano de soluciones particulares obtendremos para t=0 y t=1

$A(0,1)={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\\\end{bmatrix}}=1-1=0$

Si el Wronskiano es cero, no podemos determinar una solución correcta.
El método para resolver

$\ y''-y'=0$

es idéntico pero la solución general se escribe en función del número e.

Bibliografía

• K.W. Morton y D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction. Cambridge University Press, 2005.
• Oliver Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction, (2006), Albert Ludwigs Universidad de Friburgo
• Autar Kaw y E. Eric Kalu (2008) Numerical Methods with Applications

Enlaces externos

• Recursos sobre el método de las diferencias finitas por PDEs
• Finite Difference Method of Solving ODEs (Boundary Value Problems) Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica