Notación posicional

La notación posicional es un modo de escritura numérica en el cual, cada dígito posee un valor diferente que depende de su posición relativa. Queda definida por la base, que es el número de dígitos necesarios para escribir cualquier número.

El modo que utilizamos habitualmente es el sistema decimal (base 10), necesitándose diez dígitos diferentes, cuyo valor en orden creciente es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para los números escritos en sistemas de bases menores se usan los dígitos de menor valor; para los escritos con bases mayores se utilizan letras para dígitos mayores que 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, ...)

Historia

Antiguas culturas, como la de Mesopotamia, el Antiguo Egipto, la Antigua Grecia o Roma, no utilizaban la notación posicional, lo que hacía sumamente complejo el cálculo, y dificultaba el desarrollo del álgebra.

La primera numeración de posición está documentada a comienzos del II milenio a. C., y fue utilizada por los eruditos de Babilonia. Posteriormente, a finales del I milenio a. C., la emplearon los matemáticos chinos. Los sacerdotes astrónomos de la civilización maya la utilizaron entre los siglos IV y IX de nuestra era: un sistema vigesimal con un dígito de valor cero, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.​

Fueron los árabes los que impulsaron la gran innovación de la notación posicional, aunque utilizando la notación numérica hindú: un sistema decimal con un dígito de valor nulo: el cero. Leonardo de Pisa (Fibonacci), introdujo en Occidente el sistema, en el siglo XI.

Por cuestiones técnicas, en informática se optó por un sistema numérico en base dos, utilizándose sólo dos dígitos: 0 y 1, pero empleando la notación posicional, por su gran simplicidad operativa.

Características

Utilizando la notación posicional, el mismo dígito 5 toma diferente valor en los números 5, 50 y 500. Esto es una consecuencia de la descomposición de números en múltiplos de factores bⁿ, donde b es la base y n cualquier número entero.

De forma más intuitiva, se descomponen en unidades de distintos órdenes, de tal forma que b unidades de cualquier orden equivalen a una de un orden inmediatamente superior. El orden que sirve de guía es la unidad, propiamente dicha (b⁰)

Por convenio, los dígitos en esta notación se escriben de izquierda a derecha (incluso en idiomas que normalmente escriben de derecha a izquierda), empezando por los órdenes superiores y acabando en la unidad como tal, marcando la carencia de unidades con un 0 (cero). Así, en sistema decimal:

$505=5\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}$

Si existen órdenes menores que la unidad, se escribe una coma (, ') o un punto en determinados idiomas (.) para separarlos de las unidades, y se continúa escribiendo de mayor a menor, acabando con las unidades de menor orden.

$542,1=5\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}+1\cdot 10^{-1}$

Los números negativos se marcan con un signo menos delante:

$-542,1=-5\cdot 10^{2}-4\cdot 10^{1}-2\cdot 10^{0}-1\cdot 10^{-1}$

Si es necesario especificar la base, se escribe como subíndice entre paréntesis (lógicamente, en base decimal):

$110_{(5)}=5_{(10)}$

Los números periódicos (que poseen un grupo de cifras que se repite) tienen infinitos órdenes cada vez más pequeños cuyos múltiplos siguen un patrón. Este grupo de cifras (llamado período) se puede escribir una vez y marcar con un arco en la parte superior, o indicando con puntos suspensivos que el número continúa:

$5,0{\widehat {3}}=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+\sum _{-2\geqslant i>-\infty }3\cdot 10^{i}...$

de forma menos rigurosa:

$5,0333...=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+3\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}+3\cdot 10^{-4}...$

En la práctica se suele usar esta última solución o directamente redondear o truncar el número.

Algoritmos para cambio de base

Estos algoritmos se basan en la descomposición en factores de bⁿ arriba mencionada. Por comodidad, todos los cálculos se hacen en base decimal, pero los cálculos funcionarían igual en cualquier otra base.

De base foránea a base decimal

Simplemente multiplíquese cada dígito por la potencia dependiente, y después se evalúe el resultado como en una cuenta normal, en base decimal.

${\mbox{5B2,E}}_{(16)}=[5\cdot 16^{2}+11\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}+14\cdot 16^{-1}]_{(10)}=[1280+176+2+0,875]_{(10)}=1458,875_{(10)}$

(recuérdese que B₍₁₆₎ = 11₍₁₀₎; E₍₁₆₎ = 14₍₁₀₎)

De base decimal a base foránea

Divídase el número por su base hasta que ya no sea posible. Leyendo el primer cociente y los restos en orden inverso, se puede leer el número en la base foránea.

${\begin{matrix}1458&|\!{\underline {\ 16}}&\ \\\quad \;\;{\color {Red}2}&91&|\!{\underline {\ 16}}\\\;&{\color {Red}11}&\;\ {\color {Red}5}\end{matrix}}$

$5,\ 11,\ 2\rightarrow {\mbox{5B2}}_{(16)}$

Para decimales, son necesarios algoritmos más complejos.

Ventajas de la notación posicional

Mediante la notación posicional decimal se puede escribir cualquier valor numérico con sólo diez dígitos diferentes (tantos como indica la base), por muy grande o pequeño que sea, aunque es imprescindible un dígito de valor nulo: el cero, para poder operar fácilmente.