Cuantil

En estadística descriptiva, las medidas de posición no central permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre las medidas de posición no central más importantes están los cuantiles que son aquellos valores de la variable, que ordenados de menor a mayor, dividen a la distribución en partes, de tal manera que cada una de ellas contiene el mismo número de frecuencias.

Los tipos más importantes de cuantiles son:

• Los Cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes;
• Los Quintiles, que dividen a la distribución en cinco partes;
• Los Deciles, que dividen a la distribución en diez partes;
• Los Percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.

Cuartiles

Dados una serie de valores X₁,X₂,X₃...X_n ordenados en forma creciente,

Definimos:

• Primer cuartil (Q₁) como la mediana de la primera mitad de valores.
• Segundo cuartil (Q₂) como la propia mediana de la serie.
• Tercer cuartil (Q₃) como la mediana de la segunda mitad de valores.

En estadística descriptiva los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.

Datos Agrupados

Para Datos No Agrupados

Si se tienen una serie de valores X₁, X₂, X₃ ... X_n, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

El primer cuartil:

• Cuando n es par: 1*n/4
• Cuando n es impar: 1(n+1)/4

Para el tercer cuartil

• Cuando n es par: 3*n/4
• Cuando n es impar: 3(n+1)/4

Quintiles

• Se representan con la letra K.
• Es el primer quintil. Separa a la muestra dejando el 20% de los datos a su izquierda.
• Es el segundo quintil. Es el valor que indica que el 40% de los datos son menores.
• Es el tercer quintil. Indica que el 60% de los datos son menores que él.
• Es el cuarto quintil. Separa al 80% de los datos del otro 20%.

Percentiles

Definición: Es cada uno de los 99 segmentos que tomamos al dividir una muestra o un conjunto de elementos ordenados por cien partes de igual frecuencia.

• Se representan con la letra P.
• Es el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 99. El i % de la muestra son valores menores que él y el 100-i % restante son mayores.

Es decir al referirnos a un percentil en concreto, es el valor de la variable a observar que está por debajo del porcentaje dado.

Así, por ejemplo el P₂₀ es el valor o puntuación por debajo del 20% de los valores ordenados que hemos encontrado.

Análogamente podemos decir:

• P₂₅ es equivalente al Q₁.
• P₅₀ es equivalente al Q₂ o mediana.
• P₇₅ es equivalente al Q₃.

Cuando los datos no están agrupados en intervalos, los cuartiles, así como el resto de las medidas de posición, tienen un valor claro. Sin embargo, cuando tenemos una agrupación de los datos ya no es tan sencillo realizar el cálculo. Sí que resulta claro ver en cuál de los intervalos está el cuartil (quintil, decil o percentil) buscado, pero para calcular su valor exacto necesitaremos usar una fórmula.

Un método fácil para calcular un percentil, sería el siguiente: Calculamos $x={\frac {n*i}{100}}$ donde n es el número de elementos de la muestra e i el percentil. El resultado de realizar esta operación da como resultado un número real con parte entera E y parte decimal D. Teniendo en cuenta estos 2 valores, aplicamos la siguiente función:

$P_{i}={\begin{cases}elemento(E+1),&{\mbox{para }}D<>0\\{\frac {elemento(E)+elemento(E+1)}{2}},&{\mbox{para }}D=0\end{cases}}$

El resultado de esta última operación es el valor del percentil pedido.

Cálculos en Scilab / MATLAB / Excel

• Los percentiles de un conjunto de datos son calculados con la instrucción “perctl”.

A esta instrucción hay que introducirle dos vectores. Uno de ellos “x” debe contener los datos que queremos procesar y en el otro “y”, valores enteros comprendidos entre el 1 y el 100. La función calcula cuales son los valores de “x” que se corresponden con los percentiles indicados en “y”. Para probar esta función vamos a introducir un vector x que contenga el conjunto de datos con el que queremos trabajar:

x=[7,12,4,8,3,10,11,5,13,1,12,3,5,1,17,4,8,8,7,19,8,1,7,17,4,7,1,7,3,7,3,13,3,4,7,8,10,2,5,11,5,4,3,5,8];

y=[15,25,60,80]

Con esto calcularemos los percentiles 15, 25, 60 y 80 del conjunto de datos del vector “x”

prctile(x,y)
ans  =
  3.      43.
  3.5     5.
  7.      19.
  10.8    6.

Nos devuelve una matriz de dos columnas. En la primera de ellas aparecen los valores de los percentiles pedidos y en la segunda aparece la posición que ocupan en el vector “x” dichos valores.

• Los cuartiles de la muestra son calculados con la instrucción “quart”.

Esta instrucción es más sencilla que la anterior. Basta con introducirle un vector o matriz de valores y nos devolverá un vector con el valor de los cuartiles de los datos introducidos. Voy a usar el mismo vector “x” que en el caso anterior:

quart(x)
ans  =   3.75   7.    8.5

Para MSExcel se puede usar =cuartil(RANGO, 1)

=cuartil(RANGO, 2)

=cuartil(RANGO, 3)

donde RANGO son los datos de los cuales queremos extraer el cuartil y el valor 1, 2 y 3 indican el primer, segunto y tercer cuartil.

Scilab también nos permite calcular el rango intercuartilico que es la distancia que hay entre un cuartil y otro. Podemos hacerlo con la instrucción “iqr”.

iqr(x)
ans  =  4.75

Véase también

• Medidas de tendencia central