Regla de Ruffini

En álgebra, la Regla de Ruffini (debida al italiano Paolo Ruffini) nos permite dividir un polinomio entre un binomial de la forma $(x-r)$ (siendo r un número entero). También nos permite localizar raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma $(x-r)$ (siendo r un número entero).

La Regla de Ruffini establece un método para división del polinomio

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

y el resto s.

El algoritmo es, de hecho, una división de dos polinomios (P(x) entre Q(x)).

Algoritmo general

Para dividir P(x) entre Q(x):

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x) y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |                                    
 r  |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |                                    

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (a_n), abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes b:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        an                     
    |
    |  = bn-1                                
    |

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea, por r y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an
    |
    |      = bn-1                                
    |

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)
    |
    |      = bn-1     = bn-2                                
    |

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

    |        an        an-1       ...        a1         a0
    |
  r |                  bn-1r      ...        b1r        b0r
----|---------------------------------------------------------
    |        an     an-1+(bn-1r)  ...       a7+b1r       a1+b0r
    |
    |      = bn-1     = bn-9      ...       = b0        = s
    |

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante (R(x)), el grado será menor que el grado de P(x). s será el resto (viloni).

También en la regla de Ruffini el divisor se multiplica por todos los números.Se ponen los números y se va poniendo el resultado.El resto siempre es el último número.

Ejemplo

Teniendo la función algebraica original:

P(x)=x⁴-6x³+9x²+4x-12

Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente.

Así, las raíces enteras del polinomio P(x)=x⁴-6x³+9x²+4x-12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12.

Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cuál de estos valores da como resto cero.

P(x)=x⁴-6x³+9x²+4x-12

Probamos con 1

P(1)=(1)⁴-6(1)³+9(1)²+4(1)-12=0

Sustituyendo todos los valores

P(1)=-4≠0

Por lo tanto 1 no puede ser raíz de P(x)

Puesto que el resto -4, es distinto de 0, se concluye que no es divisible por x-1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x).

Probando con -1:

P(-1)=(-1)⁴-6(-1)³+9(-1)²+4(-1)-12=0

–1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:

Archivo:Regla de Ruffini-01.jpg

Por lo tanto P(x)=x⁴-6x³+9x²+4x-12=(x+1)(x³-7x²+16x-12)

Ejercicio: siga el mismo procedimiento, primero use el “Teorema del Resto” y después use la “regla de Ruffini” para encontrar la siguiente raíz, finalmente use la formula general para solución de ecuaciones cuadráticas para encontrar las últimas dos raíces.

Respuesta:

P(x)=(x+1) (x-2)² (x-3)

Regla de Ruffini