Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raíces​ como su grado, dado que las raíces se cuentan con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo $p$ de grado $n>0$, la ecuación $p(z)=0$ tiene exactamente $n$ soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

• El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
• Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma $(x-c_{i})\,$.

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: todo polinomio en una variable con coeficientes complejos de grado al menos uno tiene al menos una raíz compleja. Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema en análisis que en álgebra.

Historia

Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado $n$ (a coeficientes reales) puede tener $n$ soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado $n$ tiene $n$ soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación

$x^{4}=4\,x-3$

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2)

$1,\quad 1,\quad -1+i\,{\sqrt {2}}\quad \mathrm {y} \quad -1-i\,{\sqrt {2}}.$

Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.

Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo $x^{4}+a^{4}$ (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio $x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+4x+4$, pero él recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

$(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha )(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha ),\,$

donde $\alpha$ es la raíz cuadrada de $4+2{\sqrt {7}}$

mientras que:

$x^{4}+a^{4}=(x^{2}+a{\sqrt {2}}x+a^{2})(x^{2}-a{\sqrt {2}}x+a^{2}).\,$

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alambert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.

A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.

El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito a Argand.

Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

Demostración

Sea $p$ un polinomio de grado $n$. $p$ es una función entera. Para cada constante positiva $m$, existe un número real positivo $r$ tal que

$|p(z)|>m,\quad {\mbox{si}}\quad |z|>r.$

Si $p$ no tiene raíces, la función $f=1/p$, es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real $\epsilon$ mayor que cero, existe un número positvo $r$ tal que

$|f(z)|<\epsilon ,\quad {\mbox{si}}\quad |z|>r.$

Concluimos que la función $f$ es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si $f$ es una función entera y acotada, entonces, $f$ es constante y esto es una contradicción.

De manera que $f$ no es entera y por tanto $p$ tiene al menos una raíz. $p$ se puede escribir por tanto como el producto

$p(z)=(z-\alpha _{1})q(z),\,$

donde $\alpha _{1}$ es una raíz de $p$ y $q$ es un polinomio de grado $n-1$. Por el argumento anterior, el polinomio $q$ a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente.

Repitiendo este proceso $n-1$ veces,​ concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto.....

$p(z)=k\,(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})$

donde $\alpha _{1}$ ... $\alpha _{n}$ son las raíces de $p$ (no necesariamente distintas) y $k$ es una constante.

Corolarios

Como el teorema fundamental del álgebra puede ser visto como la declaración de que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema concerniente a cuerpos algebraicamente cerrados aplican al cuerpo de los números complejos. Aquí hay algunas cuantas consecuencias del teorema, que son o acerca del cuerpo de los números reales o acerca de las relaciones entre el cuerpo de los números reales y el cuerpo de los números complejos:

• El cuerpo de un número complejo es la clausura algebraica del cuerpo de números reales.

• Todo polinomio en una variable $x$ con coeficientes reales es el producto de un polinomio constante de la forma $x+a$ con $a$ real, y polinomios de la forma $x^{2}+ax+b$ con $a$ y $b$ reales y $a^{2}-4b<0$(que es lo mismo que decir que el polinomio $x^{2}+ax+b$ no tiene raíces reales).

• Toda función racional en una variable $x$, con coeficientes reales, se puede escribir como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma $a/(x-b)^{n}$(donde $n$ es un número natural, y $a$ y $b$ son números reales), y funciones racionales de la forma $(ax+b)/(x^{2}+cx+d)^{n}$ (donde $n$ es un número natural, y $a$, $b$, $c$, y $d$ son números reales tales que $c^{2}-4d<0$). Un corolario de esto es que toda función racional en una variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental.

• Toda extensión algebraica del cuerpo de los reales es isomorfa al cuerpo de los reales o al cuerpo de los complejos.