Joseph-Louis de Lagrange

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Joseph-Louis de Lagrange
15
Nacimiento 25 de enero de 1736
Turín, Piamonte
Fallecimiento 10 de abril de 1813 (77 años)
París, Francia
Residencia Piedmont
Francia
Prusia
Nacionalidad Italiano
Francés
Campo Matemáticas
Física matemática
Instituciones École polytechnique
Supervisor doctoral Leonhard Euler
Estudiantes
destacados
Joseph Fourier
Giovanni Plana
Siméon Poisson
Conocido por Mecánica analítica
Mecánica celeste
Análisis matemático
Teoría de números

Joseph-Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un físico, matemático y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.

Biografía[editar]

Primeros años[editar]

Estatua de Lagrange en Turín.

Joseph Louis de Lagrange procedía de una familia parisina que gozaba de buena posición social. Fue educado en la Universidad de Turín y no fue hasta los diecisiete años cuando mostró interés por la matemática. Su entusiasmo lo despertó la lectura de una obra del astrónomo Edmund Halley. Tras un año de incesante trabajo era ya un matemático consumado.

Cuando tenía sólo diecinueve años envió una carta a Leonhard Euler en que resolvió un problema, que había sido un asunto de discusión durante más de medio siglo, mediante una nueva técnica: el cálculo de variaciones. Euler reconoció la generalidad del método y su superioridad, y con una cortesía rara en él retuvo un artículo que él había escrito previamente para que el joven italiano tuviera tiempo para completar su trabajo, como exige la invención de un nuevo método de cálculo. El nombre de esta rama del análisis la sugirió el propio Euler. Este trabajo puso a Lagrange en primera línea entre los matemáticos de su época. En 1758, con la ayuda de sus alumnos, Lagrange publicó en la Academia de Turin la mayoría de sus primeros escritos, consistentes en los cinco volúmenes normalmente conocidos como Miscellanea Taurinensia.

En 1761 Lagrange no tenía rival en el campo de las matemáticas; pero su trabajo incesante durante los últimos nueve años habían afectado seriamente su salud, y los doctores se negaron a ser responsables de su vida a menos que él se lo tomara en serio. Aunque su salud fue temporalmente restablecida su sistema nervioso nunca recuperó su tono y de aquí en adelante padeció constantemente ataques de melancolía severa.

Lagrange era de mediana estatura, complexión débil, con ojos azul claro y un color de piel pálido. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia, y al evitarla de buena gana permitió a otros tener crédito por cosas que él había hecho.

En la corte real de Prusia[editar]

Ya en 1756, Euler, con el apoyo de Maupertuis, hizo un intento para traer a Lagrange a la academia de Berlín. Más tarde, d'Alembert intercedió en favor de Lagrange con Federico de Prusia y escribió a Lagrange solicitándole dejar Turín por una posición considerablemente más prestigiosa en Berlín. Lagrange rechazó ambas ofertas, respondiendo en 1765 que

Me parece que Berlín no sería nada adecuado para mí mientras M. Euler esté allí.[cita requerida]

En 1766 Euler abandonó Berlín, y Federico II el Grande escribió a Lagrange para expresarle su deseo de que "el rey más grande de Europa" debería tener "el matemático más grande de Europa" viviendo en su corte. Lagrange aceptó la oferta y durante los siguientes veinte años en Prusia, no sólo produjo la serie más grande de documentos publicada en el Berlín sino que publicó su trabajo monumental, la Mécanique analytique.

Su estancia en Berlín comenzó con un desafortunado error: estando la mayoría de sus colegas casados, y aconsejado por sus esposas de que era la única manera de estar contento, se casó; su esposa se murió pronto, pero la unión no fue feliz.

Lagrange era el favorito del rey y frecuentemente disertó sobre las ventajas de una regularidad perfecta en la vida. La lección la aplicó a su vida, y Lagrange estudió su mente y su cuerpo como si fueran máquinas, y encontró experimentando la cantidad exacta de trabajo que podía hacer sin perder la salud. Todas las noches se ponía una tarea definida para el próximo día, y al completar cualquier tema escribía un corto análisis para ver qué puntos en las demostraciones eran susceptibles de mejora. Siempre pensó en sus artículos antes de componerlos, y normalmente los escribió con aseo y sin una sola raspadura o corrección.

Última etapa en Francia[editar]

En 1786 Federico II murió, y Lagrange que se había adaptado al clima de Berlín aceptó alegremente la oferta de Luis XVI para emigrar a París. Había recibido invitaciones similares de España y Nápoles. En Francia fue recibido con distinción, y se prepararon apartamentos especiales en el Louvre para su recepción. Al principio de su residencia tuvo un ataque de melancolía, y tuvo una copia impresa de su Mécanique, en la que había trabajado un cuarto de siglo, sin abrir en su escritorio durante más de dos años. La curiosidad acerca de los resultados de la revolución francesa lo sacó de su letargo, una curiosidad que pronto se volvió en alarma con el desarrollo de la revolución.

En 1792, la inexplicable tristeza de su vida y su timidez movió la compasión de una joven muchacha que insistió en casarse siendo feliz con dicha unión. Aunque el decreto de octubre de 1793 que exigía que todos los extranjeros dejaran Francia no le fue aplicado, deseaba marcharse cuando le ofrecieron la presidencia de la comisión para la reforma de pesos y medidas. La opción de las unidades finalmente seleccionadas era principalmente debida a él, y por su influencia se aceptó por la comisión la subdivisión decimal 1799.

Aunque Lagrange había querido salir de Francia, nunca estuvo en peligro y los diferentes gobiernos revolucionarios (y más tarde, Napoleón) le cubrieron de honores y distinciones. En 1794 Lagrange fue nombrado profesor de la École polytechnique y las conferencias que dio allí, a los matemáticos que tuvieron la suerte de poder asistir a ellas, tenían su base en su Théorie des fonctions analytiques.

En 1795 Lagrange ocupó una silla matemática honorífica en la École normale que disfrutó sólo durante cuatro meses, ya que la école fue cerrada. Sus conferencias aquí eran bastante elementales, y no contienen nada de importancia especial.

En 1810 Lagrange comenzó una revisión completa de la Mécanique analytique, pero sólo pudo completar unos dos tercios antes de su muerte en 1813.

Su obra[editar]

Miscellanea Taurinensia[editar]

En 1758, con ayuda de sus alumnos, Lagrange fundó una sociedad que, más tarde, se denominó la Academia Turinesa de Ciencias. La mayor parte de sus primeros trabajos se encuentran en los cinco volúmenes de los registros de la Academia, conocidos usualmente como Miscellanea Taurinensia. Muchos de estos trabajos son publicaciones elaboradas.

El primer volumen contiene un documento de la teoría de la propagación de sonido; indica un error hecho por Newton, y obtiene la ecuación diferencial general para el movimiento, y halla la solución para el movimiento en línea recta. Este volumen también contiene la solución completa del problema de una cuerda que vibra transversalmente; en este trabajo señala la falta de generalidad en las soluciones dadas previamente por Brook Taylor, D'Alembert y Euler llegando a la conclusión que la forma de la curva para un tiempo t cualquiera viene dada por la ecuación y = a \sin (mx)\cdot \sin (nt). El artículo concluye con una hábil discusión sobre ecos y sonidos compuestos. Otros artículos en este volumen son serie recursivas, probabilidad y cálculo de variaciones.

El segundo volumen contiene un documento largo que incluye los resultados de varios documentos del primer volumen y notas sobre el cálculo de variaciones; e ilustra su uso deduciendo el principio de mínima acción, y las soluciones de varios problemas de dinámica.

El tercer volumen incluye la solución de varios problemas de dinámica mediante el cálculo de variaciones; algunos documentos de cálculo integral; una solución del problema de Fermat, encontrar un número x qué hará que (x ² n + 1) sea un cuadrado dónde n es un entero dado que no es un cuadrado; y las ecuaciones de diferencial generales del problema del movimiento de n-cuerpos y su aplicación al Problema de los tres cuerpos que se mueven bajo sus atracciones mutuas.

Los tratados[editar]

Su actividad mental durante estos veinte años en Prusia fue asombrosa, no sólo por el hecho de producir su espléndida Mécanique analytique, sino por contribuir, con doscientos trabajos, a las Academias de Berlín, Turin, y París. Algunos de éstos realmente son tratados, y todos, sin excepción, son de una extraordinaria calidad. Salvo un corto tiempo cuando él estaba enfermo en que produjo aproximadamente un artículo por término medio al mes. Los más importantes son:

  • Sus contribuciones a los volúmenes cuarto y quinto, 1766 -1773, de la Miscellanea Taurinensia ; el más importante fue uno en 1771 en que discutió cómo numerosas observaciones astronómicas deben combinarse para dar el resultado más probable.
  • Después, sus contribuciones a los primeros dos volúmenes, 1784 - 1785, de la Academia de Turin. Un artículo sobre la presión ejercida por los fluidos en movimiento, y el segundo un artículo en la integración de una serie infinita, y el tipo de problemas para que es conveniente.

Astronomía[editar]

El siguiente trabajo fue en 1764 sobre la libración de la Luna, y una explicación acerca de por qué siempre ofrece la misma cara a la Tierra, un problema que él trató con la ayuda del trabajo virtual. Su solución es especialmente interesante por contener el germen de la idea de ecuaciones generalizadas de movimiento, ecuaciones que demostró formalmente en 1780.

La mayoría de los trabajos enviados a París versaba sobre preguntas astronómicas, y entre estos papeles cabe mencionar el sistema joviano en 1766, su ensayo en el problema de los tres cuerpos en 1772, su trabajo sobre la ecuación secular de la Luna en 1773, y su tratado sobre las perturbaciones cometarias de 1778. Éstos eran todos asuntos propuestos por la Academia francesa, y en cada caso el premio se le otorgó a él.

Hay numerosos artículos de astronomía. De estos los más importantes son los siguientes:

  • Intentando resolver el Problema de los tres cuerpos, descubrió los puntos de Lagrange en 1772, de interés porque en ellos se han encontrado los asteroides troyanos y satélites troyanos de Saturno.
  • Gravitación de elipsoides, 1773: Punto de partida del trabajo de Maclaurin.
  • La ecuación secular de la Luna, 1773; también notable por la introducción de la idea de potencial. El potencial de un cuerpo en un punto es la suma de la masa de cada elemento del cuerpo dividido por su distancia del punto. Lagrange mostró que si el potencial de un cuerpo a un punto externo fuera conocido, la atracción en cualquier dirección podría encontrarse en seguida. La teoría del potencial se elaboró en un artículo enviado a Berlín en 1777.
  • El movimiento de los nodos de la órbita de un planeta 1774.
  • La estabilidad de las órbitas planetarias, 1776.
  • Dos artículos sobre el método para determinar la órbita de un cometa con tres observaciones, en 1778 y 1783,: esto no se ha demostrado prácticamente disponible de hecho, pero su sistema de calcular las perturbaciones por medio de las cuadraturas mecánicas ha formado la base de la mayoría de las investigaciones subsecuentes en el asunto.
  • Su determinación de las variaciones seculares y periódicas de los elementos orbitales de los planetas, 1781-1784: los límites superiores asignados para que éstos están de acuerdo con aquellos obtenidos después por Le Verrier, y Lagrange procedió hasta donde el conocimiento permitía entonces de las masas de los planetas.
  • A este tema volvió durante los últimos años de su vida cuando estaba ya en París. La teoría del movimiento planetario había formado parte de algunos de los más notable papeles de Berlín de Lagrange. En 1806 el asunto se volvió a abrir por parte de Poisson, quién, en un papel leído ante la Academia francesa, mostró las fórmulas de Lagrange llevadas a ciertos límites para la estabilidad de las órbitas. Lagrange que estaba presente discutió ahora de nuevo el asunto entero, y en una carta comunicada a la Academia en 1808 explicó cómo, por la variación de constantes arbitrarias, las desigualdades periódicas y seculares de cualquier sistema de cuerpos mutuamente unidos por la gravitación podrían ser determinadas.

Álgebra[editar]

La mayor parte de sus artículos sobre álgebra los envió a la Academia de Berlín. Cabe destacar:

  • Su discusión de la solución enteras de las formas cuadráticas, 1769, y generalmente de ecuaciones indeterminadas, 1770.
  • Su tratado de la teoría de eliminación de parámetros, 1770.
  • Sus papeles en el proceso general por resolver una ecuación algebraica de cualquier grado, 1770 y 1771; este método falla para las ecuaciones de un orden superior al cuarto, porque involucra la solución de una ecuación de orden superior, pero da todas las soluciones de sus predecesores.
  • La solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado, esta ocupa el último lugar en los papeles mencionados.
  • Por último, en 1773, su tratamiento de determinantes de segundo y tercer orden, y de sus invariantes.

Teoría de números[editar]

Algunos de sus artículos iniciales también tratan de cuestiones conectadas con el abandonado pero singularmente fascinante tema de la teoría de números. Entre éstos se encuentran los que tratan sobre lo siguiente:

  • Su prueba del teorema que cada entero positivo que no es un cuadrado puede expresarse como la suma de dos, tres o cuatro cuadrados de enteros, 1770.
  • Su demostración del teorema de Wilson que dice que si n es un número primo, entonces ( n - 1)! + 1 siempre es un múltiplo de n , (1771).
  • Sus artículos de 1773, 1775, y 1777, donde da las demostraciones de varios resultados enunciadas por Fermat, y no demostrados previamente.
  • Y, por último, su método para determinar los factores de números de la forma x^2 + ay^2.

Mecánica analítica o lagrangiana[editar]

Entre 1772 y 1788, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Isaac Newton para simplificar fórmulas y facilitar los cálculos. Esta mecánica se llama mecánica Lagrangiana, y origen de la mecánica analítica. Escribe su monumental «Tratado de Mecánica Analítica». En este tratado recoge, completa y unifica los conocimientos desde Newton. Este libro, para sus contemporáneos una referencia, es una apología de la utilización de las ecuaciones diferenciales en mecánica. En el libro extiende la ley del trabajo virtual, y hace de ella un principio fundamental, y con la ayuda del cálculo diferencial, deduce toda la mecánica de sólidos y fluidos.

El objeto del libro es mostrar que el asunto es implícitamente incluido en un solo principio, que permite dar fórmulas generales de las que puede obtenerse cualquier resultado particular. El método de coordenadas generalizadas que obtuvo es quizás el resultado más inteligente de su análisis. En lugar de seguir el movimiento de cada parte individual de un sistema material, como D'Alembert y Euler habían hecho, mostró que, si nosotros determinamos su configuración por un número suficiente de variables cuyo número es igual que los grados de libertad que posee el sistema, entonces pueden expresarse las energías cinéticas y potenciales del sistema por lo que se refiere a esas variables, y las ecuaciones diferenciales del movimiento se deducen por la diferenciación. Por ejemplo, en la dinámica de un sistema rígido él reemplaza la consideración del problema particular por la ecuación general que se escribe ahora normalmente con la fórmula


\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial T}{\partial\theta}+\frac{\partial V}{\partial \theta} = 0.

T es la energía cinética y V la energía potencial y \theta es la coordenada generalizada. Construyendo la función lagrangiana \mathcal{L} la ley queda de la forma:


\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} = 0.

Entre otros teoremas menores aquí dados se puede mencionar la proposición de que la energía cinética de un sistema material bajo las restricciones dadas es un máximo, y el principio de mínima acción. Todo el análisis es tan elegante que William Rowan Hamilton dijo que este trabajo «solo podría describirse como un poema científico». Puede ser interesante observar que Lagrange comentó que la mecánica realmente era una rama de la matemática pura análoga a una geometría de cuatro dimensiones, a saber, el tiempo y las tres coordenadas del punto en el espacio. Al principio ninguna editorial quería publicar el libro; pero Legendre por fin persuadió a una empresa de París para hacerlo, lo que se hizo bajo su supervisión en 1788.

Miscelánea[editar]

Hay también numerosos artículos sobre varios puntos de geometría analítica. En dos de ellos, escritos bastante después, en 1792 y 1793, redujo las cuádricas a su forma canónica.

Durante los años de 1772 a 1785 contribuyó con una larga serie de artículos que crearon ciencia, las ecuaciones diferenciales, en derivadas parciales. Una gran parte de estos resultados se reunieron en la segunda edición del cálculo integral de Euler publicado en 1794.

Durante los últimos años en Francia su trabajo se centró en el Análisis.

Teoría sobre las funciones analíticas[editar]

Sus conferencias en la École polytechnique trataron del cálculo diferencial, la base de su Théorie des fonctions analytiques, que se publicó en 1797.

Este trabajo es la extensión de una idea contenida en un artículo que él había enviado a Berlín en 1772. Un método algo similar se había usado previamente por John Landen en el Análisis residual, publicado en Londres en 1758. Lagrange creyó que podía librarse así de las dificultades por el uso de cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas, que los filósofos objetaron en el tratamiento usual del cálculo diferencial.

El libro está dividido en tres partes. La primera da una prueba algebraica del teorema de Taylor. La segunda trata las aplicaciones a la geometría; y la tercera aplicaciones a la mecánica. Otro tratado en las mismas líneas fue su Leçons sur le calcul des fonctions, publicado en 1804. Estos trabajos pueden ser considerados como el punto de arranque para las investigaciones de Cauchy, Jacobi y Weierstrass.

Infinitesimales[editar]

Con posterioridad, Lagrange usó los infinitesimales en el cálculo diferencial en el estudio de fórmulas algebraicas; y en el prólogo a la segunda edición de su obra Mécanique Analytique publicada en 1811, justifica el empleo de infinitesimales, con estas palabras:

cuando nosotros hemos cogido el espíritu del método infinitesimal, y lo ha verificado la exactitud de sus resultados por el método geométrico de primeras y últimas proporciones, o por el método analítico de funciones derivadas, nosotros podemos emplear las cantidades infinitamente pequeñas como un medio seguro y valiosos de acortar y simplificar nuestras pruebas.[cita requerida]

Fracciones continuas[editar]

Su Résolution des équations numériques, publicada en 1798, también es fruto de sus conferencias en la Escuela politécnica. En él da el método de aproximar las raíces reales de una ecuación por medio de fracciones continuas, y enuncia varios otros teoremas. Al final en una nota muestra el pequeño teorema de Fermat:

 a^{p-1} - 1 \equiv 0 \; ({\rm mod} \;  p) \; ,

donde p es un número primo y a es un número entero primo entre sí con p (m.c.d. (a, p)=1), puede aplicarse para dar la solución algebraica completa de cualquier ecuación binomial. Explica también cómo la ecuación cuyas raíces son los cuadrados de las diferencias de las raíces de la ecuación original puede usarse para dar mucha información acerca de la posición y naturaleza de esas raíces.

Matemática pura[editar]

Los intereses de Lagrange eran esencialmente aquellos de un estudiante de matemática pura: buscó y obtuvo resultados abstractos de largo alcance, y estaba satisfecho de dejar las aplicaciones a otros. De hecho parte de los descubrimientos de su gran contemporáneo, Laplace, consiste en la aplicación de las fórmulas de Lagrange a los fenómenos de la naturaleza; por ejemplo, las conclusiones de Laplace de la velocidad del sonido y de la aceleración secular de la Luna están ya implícitamente en los resultados de Lagrange. La única dificultad para entender a Lagrange es el asunto de interés y la generalidad extrema de sus procesos; pero su análisis es tan lúcido y luminoso como es simétrico e ingenioso."

Un reciente escritor sobre Lagrange dice que desempeñó un papel verdaderamente prominente en el avance de casi todas las ramas de la matemática pura. Como Diofanto y Fermat, Lagrange poseía un genio especial para la teoría de números, y en este asunto dio soluciones a muchos de los problemas que se habían propuesto por Fermat, y agregó algunos teoremas propios. Creó el cálculo de variaciones. La teoría de ecuaciones diferenciales está en deuda con él por convertirla en una ciencia en lugar de una colección de ingeniosos artificios para la solución de problemas particulares.

Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la fórmula de interpolación que lleva su nombre. Sus tres trabajos sobre el método de interpolación de 1783, 1792 y 1793, están actualmente en la misma fase en que Lagrange los dejó.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]