Diferencia entre revisiones de «Funciones de parte entera»
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que toman un [[número real]] y devuelven un [[número entero]] mayor o menor a ese número. Las funciones más conocidas son la '''función piso''' y la '''función techo'''. |
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== Función techo == |
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[[Image:Ceiling function.svg|right|thumb|200px|Función techo.]] |
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La '''función techo''' se aplica a un [[número real]] ''x'' y devuelve el mínimo [[número entero]] ''k'' no inferior a ''x'': |
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: <math> \lceil x \rceil =\min\{k\in\mathbb{Z}\mid x\le k\}</math> |
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O de otra forma: |
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: <math> |
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y = \lceil x \rceil : \quad |
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y = \big \{ y : \quad y \in \mathbb{Z} \quad \land \quad x \in \mathbb{R} \quad \land \quad y-1 < x \le y \big \} |
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</math> |
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=== Propiedades === |
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*Para cualquier número real se cumple que <math>\lceil x \rceil \ge x</math>. |
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*El número real ''x'' al que se aplica la función techo es un número entero [[si y sólo si]] la función techo de ''x'' tiene el mismo valor que ''x''. |
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{{ecuación| |
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<math>x\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow \lceil x \rceil = x </math> |
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||left}} |
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*La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos. |
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*La función techo puede expresarse como integral mediante la [[delta de Dirac]] y la función característica del conjunto de los enteros: |
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{{ecuación| |
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<math>\int_{\epsilon}^{x+\epsilon} \delta(1-\chi_\mathbb{Z}(y)) dy = \lceil x \rceil, \qquad 0 < \epsilon < 1 </math> |
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||left}} |
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=== Ejemplos === |
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Para un número real no entero: |
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: <math> \lceil 2.3 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid 2,3\le k\} = 3</math> |
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: <math> \lceil -2.3 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid -2,3\le k\} = -2</math> |
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Para un número entero: |
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: <math> \lceil 2 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid 2\le k\} = 2</math> |
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: <math> \lceil -2 \rceil = \min\{k\in\mathbb{Z}\mid -2\le k\} = -2</math> |
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== Función piso == |
== Función piso == |
Revisión del 18:07 4 ago 2009
En matemática, las funciones de parte entera son aquellas funciones:
que toman un número real y devuelven un número entero mayor o menor a ese número. Las funciones más conocidas son la función piso y la función techo.
Función techo
La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero k no inferior a x:
O de otra forma:
Propiedades
- Para cualquier número real se cumple que .
- El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.
- La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.
- La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:
Ejemplos
Para un número real no entero:
Para un número entero:
Función piso
La función piso se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero k no superior a x:
Que se puede expresar:
Propiedades
El número real x al que se aplica la función piso es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.
Ejemplos
Para un número real no entero:
Para un número entero:
Serie de expansión para la función piso, techo y parte entera (en el lenguaje C)
Como la función piso no es continuo por lo tanto no tiene un expansión potencial (Series de Taylor) y como tampoco es periódico, no tiene una expansión en la Serie de Fourier. Sin embargo la función llamada funcion de parte decimal, fracionaria o Función mantisa; es periódico; por lo tanto tiene una expansión en la serie de Fourier que es:
Usando la expreción podemos saber la expansión de la función :
teniendo en cuenta que: . Entonce la expación de serie de la función techo seria:
y por último, para la función de parte entera en el lenguaje C, se utilizara la siguiente expresión entonce quedaria:
Función parte entera en C
La función parte entera en el lenguaje de programación C es una función compuesta de la función piso y techo, se define de la siguiente manera:
Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.
Véase también
Referencias
- Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic.