Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D, entonces

$\int _{C}L\,dx+M\,dy=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$

A veces la notación

$\oint _{C}L\,dx+M\,dy$

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Prueba del teorema de Green cuando D es una región simple

Si demostramos que las ecuaciones 1 y 2

$EQ.1=\int _{C}Ldx=\int \!\!\!\int _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA$

y

$EQ.2=\int _{C}M\,dy=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA$

son correctas, probamos el teorema de Green.

Si expresamos D como región tal que:

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$

donde g₁ y g₂ son funciones continuas, podemos computar la integral doble de la ecuación 1:

$EQ.4=\int \!\!\!\int _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA=-\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right)=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x))]\,dx$ :$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx$

Ahora particionamos C como la unión de cuatro curvas: C₁, C₂, C₃, C₄.

Con C₁, se utilizan las ecuaciones paramétricas, x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Por lo tanto:

$\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx$

Con C₃, se utilizan las ecuaciones paramétricas, x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Entonces:

$\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx$

Con C₂ y C₄, x es una constante, significando:

$\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0$

Por lo tanto,

$\int _{C}L\,dx=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx$

$=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,dx+\int _{a}^{b}[L(x,g_{1}(x))]\,dx$

Combinando esto con la ecuación 4, tenemos:

$\int _{C}L(x,y)\,dx=\int \!\!\!\int _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$

Una prueba similar se puede emplear en la Eq.2.

Relación con el teorema de la divergencia

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de la divergencia:

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} ds,$

donde $\mathbf {\hat {n}}$ es el versor normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como $d\mathbf {r} =\langle dx,dy\rangle$ es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser $\langle dy,-dx\rangle$. El módulo de este vector es ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds$. Por lo tanto $\mathbf {\hat {n}} ds=\langle dy,-dx\rangle$.

Tomando los componentes de $\mathbf {F} =\langle P,Q\rangle$, el lado derecho se convierte en

$\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ds=\int _{C}Pdy-Qdx$

que por medio del teorema de Green resulta:

$\int _{C}-Qdx+Pdy=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA$

Véase también

• Teorema de Stokes
• Teorema de la divergencia
• Planímetro

Enlaces externos

• Teorema de Green en Mathworld (en inglés)
• Una demostración en flash del Teorema de Green (en inglés)