Número cardinal

El cardinal indica el número o cantidad de los elementos de un punto conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto $A\,$, el cardinal de este conjunto se simboliza mediante $|A|\,$, ${\mbox{card}}(A)\,$ o $\#A$. Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.

Historia

El concepto de número cardinal fue inventado por Georg Cantor, en 1874.

Primero estableció el concepto de cardinalidad como un instrumento para comparar conjuntos infinitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} no son iguales pero tienen la misma cardinalidad, llamada tres.

Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales (N = {1, 2, 3, ...}).

Nombró el cardinal de $\mathbb {N}$: $\aleph _{0}$. Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares) tienen cardinalidad $\aleph _{0}$, debido a que era posible establecer la relación biunívoca con N.

Cardinales para particionar y ordenar a los conjuntos

Los conjuntos pueden no ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de la relación de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe una biyección. Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual éste pertenece. Tener dos conjuntos $A,B$ con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:

$\left|A\right|=\left|B\right|{\text{ ,o bien }}\#A=\#B$

La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales; es decir:
$\left|A\right|\leq _{\#}\left|B\right|\Leftrightarrow \exists f:A\rightarrow B{\text{ ,inyectiva}}$
La relación $<_{\#}$ excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.
Es posible demostrar que si $\left|A\right|\leq _{\#}\left|B\right|$ y $\left|B\right|\leq _{\#}\left|A\right|$ esto implica que $\left|A\right|=\left|B\right|$.
El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío.
El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por $\omega$. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el $\leq _{\#}$-orden en los cardinales). Esta función, llamada $\aleph$, induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación $\aleph _{0}=\omega$ para el primer cardinal infinito, $\aleph _{1}$ para el siguiente, etc.

Cardinales transfinitos

Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:

• El cardinal de los números reales: ${\mbox{card}}(\mathbb {R} )=c$;
• El cardinal de los números naturales: ${\mbox{card}}(\mathbb {N} )=\aleph _{0}$ (Alef-0).
• El cardinal inmediatamente superior a $\aleph _{0}$: $\aleph _{1}$

Usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen $\aleph _{0}<\aleph _{1}\leq c$. La hipótesis del continuo afirma que de hecho $c=\aleph _{1}$. Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta, como "teorías de conjuntos no cantorianas" en las que la hipótesis del continuo sea falsa. Esta situación es similar a la de las geometrías no euclídeas.

Ejemplo de cálculo del cardinal de un conjunto

• El cardinal conjunto finito A = {2,4,5} es 3. Demostración: En primer lugar resulta trivial probar que esta función es inyectiva: f: {2,4,5} → {1,2,3}:
  

$f(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}x{\mbox{= 2}}\\2,&{\mbox{si }}x{\mbox{= 4}}\\3,&{\mbox{si }}x{\mbox{= 5}}\end{cases}}$

• El cardinal del conjunto infinito P = {x ∈ $\mathbb {N}$ / x es par } formado por los números pares es $\aleph _{0}$. Para probarlo basta con definir las funciones:
  

${\begin{matrix}f:P\longrightarrow \mathbb {N} &\qquad &\qquad &g:\mathbb {N} \longrightarrow P\\x\mapsto f(x)={\frac {x}{2}}&\qquad &\qquad &x\mapsto g(x)=2x\end{matrix}}$

Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto es $\aleph _{0}$. Esto concluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), pero demostramos que estos conjuntos son equipotentes.

• El conjunto de pares (o más generalmente de n-tuplas) de números naturales tiene un cardinal $\aleph _{0}$. Esto se puede probar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de probar es que $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ tiene el mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:

g: $\mathbb {N}$x$\mathbb {N}$ → $\mathbb {N}$ g(x, y) = $3^{x}*2^{y}$

Al ser 3 y 2 números primos, para cada par x, y obtendremos un número distinto. Entonces g es inyectiva y $\operatorname {card} (\mathbb {Q} )\leq \operatorname {card} (\mathbb {N} )$

• El conjunto de los Números racionales $\mathbb {Q}$ tiene un cardinal igual a $\aleph _{0}$. Este resultado desafía un poco la intuición porque de un lado el conjunto de los racionales es "denso" en $\mathbb {R}$ que tiene cardinal $\aleph _{1}$, de hecho estudiando un poco la topología de los números reales, tenemos que entre dos números reales existe siempre un número racional, y entre dos racionales un real irracional. Eso podría hacer pensar que $\mathbb {Q}$ y $\mathbb {R}$ son comparables según el número de elementos, pero resulta que $\mathbb {Q}$ sólo tiene tantos elementos como $\mathbb {N}$, siendo el número de elementos de $\mathbb {R}$ un infinito muy superior al número de elementos de $\mathbb {Q}$.

Para comprobar que en efecto el conjunto $\mathbb {Q}$ es numerable, y por tanto, tiene el mismo cardinal que los naturales podemos ver que existe una función inyectiva $i_{\mathbb {Q} }$
. Si un número racional q es igual a r/s siendo estos dos números primos relativos entre sí entonces definimos:

${\begin{matrix}i_{\mathbb {Q} }:\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {N} \times \mathbb {N} &\\q\mapsto i_{\mathbb {Q} }(q)=(r,s)&\qquad [\operatorname {mcd} (r,s)=1]\end{matrix}}$

Esto prueba que ${\mbox{card}}(\mathbb {N} )\leq {\mbox{card}}(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )$ y como ${\mbox{card}}(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )={\mbox{card}}(\mathbb {N} )$ y los naturales son asimilables a un conjunto de los racionales tenemos la cadena de desigualdades:

${\mbox{card}}(\mathbb {N} )\leq {\mbox{card}}(\mathbb {Q} )\leq {\mbox{card}}(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )\leq {\mbox{card}}(\mathbb {N} )$

Por lo tanto: $\operatorname {card} (\mathbb {Q} )=\operatorname {card} (\mathbb {N} )$

Cardinal del conjunto potencia

Existe una relación entre el cardinal de un conjunto y el conjunto de partes o conjunto potencia:

$|A|=n\Rightarrow |P(A)|=2^{n}$

Donde $|P(A)|$ es el cardinal del conjunto de partes.