Teorema de Heine-Borel

En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de $\mathbb {R} ^{m}$ o de $\mathbb {C} ^{m}$ sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.^{[cita requerida]}

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Si un conjunto $K\subset \mathbb {R} ^{m}$ tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos: $K$ es cerrado y acotado. $K$ es compacto. Todo subconjunto infinito de $K$ tiene un punto de acumulación en $K$.

Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.

Historia y motivación

La historia de lo que hoy se llama teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de sólidos cimientos para el análisis real. Central en la teoría era el concepto de la continuidad uniforme y el teorema que indica que cada función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrarlo e implícitamente utilizó la existencia de un subconjunto finito de un conjunto abierto dado de un intervalo cerrado en su prueba.​ Utilizó esta prueba en sus conferencias de 1852, solamente publicadas en 1904.​ Más tarde Eduard Heine, Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en declarar y demostrar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel. Su formulación estaba restringida a conjuntos contables. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a conjuntos arbitrarios.​

Demostración

Teoremas preliminares

Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos.

Sea $F$ un conjunto cerrado y $K$ un conjunto compacto tales que $F\subset K\subset \mathbb {R} ^{m}$.

Sea $\{G_{a}\}$ un recubrimiento abierto de $F$, entonces $\{G_{a}\}\cup \{F^{c}\}$ es un recubrimiento abierto de $K$ (podemos agregar $F^{c}$ ya que es abierto). Como $K$ es compacto entonces $\{G_{a},F^{c}\}$ tiene un subrecubrimiento finito que también cubre a $K$. Podemos quitar a $F^{c}$ y sigue cubriendo a $F$. Así obtenemos un subrecubrimiento finito de cualquier recubrimiento abierto de $F$.

Si $E\subset K\subset \mathbb {R} ^{m}$, donde $E$ es un conjunto infinito y $K$ es compacto, entonces $E$ tiene un punto de acumulación en $K$.

Si $E$ no tuviera puntos de acumulación en $K$, entonces $\forall a\in K$, $\exists \varepsilon >0$ tal que $B_{\varepsilon }(a)-a$ no contiene puntos de $E$ donde $B_{\varepsilon }$ es una bola abierta de radio $\varepsilon$. Es claro que el conjunto de estas bolas forman un recubrimiento abierto de $K$ que por ser compacto admitiría un subrecubrimiento finito. Como Error al representar (función desconocida «\math»): {\displaystyle E\subseteq K<\math>, este subrecubrimiento también cubriría a <math>E<\math>. Llamemos <math>S\subset K<\math> a un subconjunto finito de <math>K<\math> tal que <math>\{B(k,r_k)\}_{k\in S}<\math> es un subrecubrimiento finito de <math>E<\math>. Si ahora tomamos <math>e_0\in E\setminus S<\math>, tenemos que <math>\forall k\in S<\math>, <math>e_0\notin B(k,r_k)<\math>. Esto implica que <math>e_0\notin \bigcup\limits_{k\in S} B(k,r_k)<\math>, contradiciendo que <math>\{B(k,r_k)\}_{k\in S}$ cubra a <math>E<\math>. {{teorema|Toda n-celda cerrada <math>I \subset \mathbb{R}^m } es compacta.}}

Sea $I\subset \mathbb {R} ^{m}$ una m-celda cerrada,

$I:=\left\{x=(x_{1},x_{2},...,x_{m})\in \mathbb {R} ^{m}:a_{j}\leq x_{j}\leq b_{j},j=1,2,...,m\right\}$.

Entonces si $x,y\in I$, se verifica que $||x-y||<\delta$, con $\delta =(\sum (b_{j}-a_{j})^{2})^{1/2}$. Sea $\{G_{a}\}$ un recubrimiento abierto de $I\,$ y supongamos por reducción al absurdo que $I$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G_{a}$'s.

Tomemos $c_{s}={\frac {a_{s}+b_{s}}{2}}$. Entonces los intervalos $[a_{s},c_{s}],[c_{s},b_{s}]$ determinan $2^{m}$ m-celdas $Q_{i},\quad i=1,2,...,2^{m}$. Entonces por lo menos un $Q_{i}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G_{a}$'s. Lo llamaremos $I_{1}$. Reiterando el proceso obtenemos una sucesión $\{I_{k}\}$ tal que:

1. $I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset ...$.
2. $I_{k}$ no se puede cubrir con una cantidad finita de $G_{a}$'s.
3. Si $x,y\in I_{k}$ entonces $||x-y||<2^{-k}\delta$.
4. ${\cap }_{k}I_{k}\neq \emptyset$

Sea $h\in {\cap }_{k}I_{k}$. Como ${\cup }_{a}G_{a}$ cubre a $I$ entonces $h\in G_{b}\subset {\cup }_{a}G_{a}$. Como $G_{b}$ es abierto $\exists B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}$. Si tomamos k suficientemente grande tal que $2^{-k}\delta <\varepsilon$ tenemos que este $I_{k}\subset B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}$ lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de $G_{a}$'s.

Demostración del teorema de Heine-Borel

Si cumple 1) entonces $K\subset I$ para alguna n-celda $I$, y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si $K$ no es acotado, entonces contiene una sucesión {$x_{n}$} tal que $||x_{n}||>n$ entonces la sucesión {$x_{n}$} es infinita pero no tiene puntos de acumulación en $\mathbb {R} ^{m}$, lo cual contradice 3). Si $K$ no es cerrado, entonces existe un elemento $x_{0}\in \mathbb {R} ^{m}$ que es un punto de acumulación de $K$ pero no está en $K$. Para $n=1,2,...$ existen $x_{n}\in K$ tales que $||x_{n}-x_{0}||<1/n$, entonces la sucesión {$x_{n}$} es un subconjunto infinito de $K$ cuyo único punto de acumulación es el $x_{0}\in \mathbb {R} ^{m}$, que no pertenece a $K$, lo que contradice 3).

Véase también

• Conjunto de Borel

Notas

• Datos: Q253214