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Un '''intervalo''' (del [[latín]] ''intervallum'')<ref>{{cita web |url=https://dle.rae.es/intervalo |título=Intervalo |fechaacceso=13 de agosto de 2021 |sitioweb=[[Real Academia Española]]}}</ref> es un [[conjunto conexo|subconjunto conexo]] de la [[recta real]], es decir, un subconjunto |
Un '''intervalo''' (del [[latín]] ''intervallum'')<ref>{{cita web |url=https://dle.rae.es/intervalo |título=Intervalo |fechaacceso=13 de agosto de 2021 |sitioweb=[[Real Academia Española]]}}</ref> es un [[conjunto conexo|subconjunto conexo]] de la [[recta real]], es decir, un subconjunto que satisface que, para cualesquiera, si, entonces.<ref>Barbolla García R.M. y otros. ''Introducción al análisis real'' Alhambra, Madrid, 1982, segunda edición ISBN 84-205-0771-7</ref> Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.<ref>De Guzmán. Rubio: ''Integración: teoría y técnicas" ISBN 84-205-0631-1''</ref> |
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== Proposición == |
== Proposición == |
Revisión del 23:11 1 abr 2022
Un intervalo (del latín intervallum)[1] es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, un subconjunto que satisface que, para cualesquiera, si, entonces.[2] Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.[3]
Proposición
Un intervalo es un subconjunto de que verifica la siguiente propiedad:
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Notación
Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.
Intervalos abiertos
Definición
Dados los números reales a y b que cumplen a<b, se define el conjunto llamado intervalo abierto de extremo inferior a y extremo superior b.
En palabras, el intervalo abierto (a;b) es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos a y b.[4] Se le nombra como un tipo de intervalo finito.
- Otras notaciones
- o o
En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.
En la topología usual de la recta (o ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de , un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a; b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b]. Su exterior son las semirrectas (-∞; a] y [b; +∞).[5] No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.[6]
Intervalo cerrado
[[Archivo:Intervalo real 04.svg|derecha|240px] Sí incluye los extremos.
- Que se indica:
En notación conjuntista:
Intervalo semiabierto
Incluye únicamente uno de los extremos.
- Con la notación o bien indicamos.
En notación conjuntista:
- Y con la notación o bien ,
En notación conjuntista:
Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.[7] Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.[8]
Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.[9]
Intervalos con infinito
Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.
Incluye un extremo e infinito por la derecha.
- Con la notación indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo:
- Y con la notación ,
Incluye un extremo e infinito por la izquierda.
- Con la notación indicamos.
En notación conjuntista:
Sin incluir el extremo:
- Y con la notación ,
En notación conjuntista:
Para todo valor real:
- Y con la notación ,
En notación conjuntista:
Familia de intervalos
- {(1-1/n; 2+1/n) / } es una familia de intervalos abiertos.
- {[1; 2+1/n] / } Es una familia de intervalos cerrados.
Operaciones con intervalos
En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:
Esto se lee: A es el conjunto de todos los números reales x tal que x es menor que cuatro.
Y el conjunto B:
B es el conjunto de todos los números reales x, tal que 9 es menor que cualquier x .
El conjunto unión de A y B sería:
O también se puede anotar:
Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos s.s.s. está por lo menos en uno de ellos.
El conjunto intersección de A y B es el vacío:[10]
porque A y B no tienen puntos en común.
Se nota de la siguiente manera:
Dados los conjuntos A y C:
El conjunto unión de A y C es:
El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos.
El conjunto intersección de A y C es:
El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.
Entorno simétrico
Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:
- Con la notación indicamos.
Entorno reducido
Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:
- Con la notación indicamos.
Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.
Nota
- Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
- (a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
- [a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
- Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación , denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.
- Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito () para indicar que no hay cota.
Ejemplos gráficos
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Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:
Notación | Intervalo | Longitud | Descripción |
---|---|---|---|
Intervalo cerrado de longitud finita. | |||
Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b). | |||
Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b). | |||
Intervalo abierto. | |||
Intervalo semiabierto. | |||
Intervalo semiabierto. | |||
Intervalo semiabierto. | |||
Intervalo semiabierto. | |||
Conjunto a la vez abierto y cerrado en la topología usual de ℝ. | |||
Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado). | |||
sin elemento | cero | Conjunto vacío Intervalo abierto (a,a). |
[11]
Caracterización
Intervalo cerrado
El número real x está en si sólo si . Los puntos a y b son elementos del intervalo cerrado I; a es el ínfimo y b el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos a y b con . El intervalo abierto es el interior del intervalo cerrado de extremos a y b; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado ; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta . [12]
Propiedades
- La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
- Los conjuntos conexos de son exactamente los intervalos.[13]
- Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta», son conjuntos cerrados según la topología usual, conexos y compactos.[13]
- La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.
- Según la topología usual de ℝ, un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos.[14]
Aritmética de intervalos
Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que
- I + J = [ a + c, b + d ].
- I - J = [ a - d, b - c ].
- Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].
Generalización
Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de , que es el producto cartesiano de n intervalos: , uno en cada eje de coordenadas......
En términos topológicos, en el espacio métrico usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.
Véase también
Referencias y notas
- ↑ «Intervalo». Real Academia Española. Consultado el 13 de agosto de 2021.
- ↑ Barbolla García R.M. y otros. Introducción al análisis real Alhambra, Madrid, 1982, segunda edición ISBN 84-205-0771-7
- ↑ De Guzmán. Rubio: Integración: teoría y técnicas" ISBN 84-205-0631-1
- ↑ César A. TREJO: El concepto de número. Publicación de OEA, Washington D.C. (1973). Edición revisada y corregida
- ↑ Ayala y otros: Elementos de la Topología general, Salamanca, España, ISBN 84-7829-006-0
- ↑ Rubiano: Topología general, Bogotá
- ↑ Mansfield, M.J. (1974). Introducción a la topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S.A.
- ↑ Arizmendi. Carrillo. Lara: Cálculo Cecsa, Mexico D.F.
- ↑ Spivak: Calculus, tomo I http://valle.fciencias.unam.mx/licenciatura/bibliografia/spivak.pdf
- ↑ Conjunto vacío
- ↑ Hasser. La Salle. Sullivan: Análisis matemático I.
- ↑ Mansfield, M.J- (1974). Introducción a la Topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S.A
- ↑ a b Chinn. Steenrod: Primeros conceptos de topología ISBN 84-205-0524-2
- ↑ Mansfield, M.J (1974) Introducción a la Topología. Madrid, España. Editorial Alhambra S. A.
- Skornyakov, L.A. (2001), «Interval_and_segment&oldid=14087», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
- Weisstein, Eric W. «Interval». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.