Ecuaciones de Saint-Venant en 1D

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Las ecuaciones de Saint-Venant en 1D son un conjunto de ecuaciones diferenciales, que modelan los cambios de caudal y nivel de un líquido a lo largo del espacio unidimensional y el tiempo de manera no permanente en un canal a superficie libre o abierto.[1]

El conjunto de ecuaciones puede ser utilizado en múltiples contextos como en la transformación de lluvia en escorrentía en una cuenca para luego ser transitada a través de una corriente de agua de un río o de un sistema de tuberías, también puede ser utilizada para transitar flujos de aguas someras como en los sistemas de irrigación a través de un sistema de canales o de ríos. En general estos procesos se presentan en tres dimensiones pero para muchas aplicaciones prácticas es suficiente utilizar una aproximación unidimensional en la dirección de mayor relevancia que usualmente longitudinal al canal o dirección de flujo.[1] [2]

Historia[editar]

Las ecuaciones de Saint-Venant fueron desarrolladas por primera vez por el matemático e ingeniero francés Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant en 1871 en su trabajo Théorie du mouvement non permanent des eaux, avec application aux crues des rivières et à l'introduction des marées dans leur lit, publicado por la Academia de Ciencias de Francia,[1] aunque la forma de la ecuación de continuidad fue publicada en 1848 en su trabajo Études théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux courantes.[3]

Las ecuaciones de Saint-Venant pueden ser deducidas hoy a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes realizando un proceso de integración en dos dimensiones. Sin embargo, se desconocen las relaciones históricas que existen en los procesos originales deductivos entre estos dos conjuntos de ecuaciones ya que para muchos el conjunto de ecuaciones publicado por George Gabriel Stokes en 1845 fue presentado antes por Saint-Venant, en 1843, siete años después de la muerte de Claude-Louis Navier, quien a su vez había publicado una parte de las bases de estas ecuaciones en 1822; de esta manera, Saint-Venant habría encontrado de manera correcta la solución dos años antes que Stokes. Sin embargo, por alguna razón su nombre y su trabajo intermedio no ha sido reconocido para referirse a estas ecuaciones a través de la historia.[4]

Cronología de autores relacionados con la deducción de las ecuaciones
George Gabriel Stokes Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant Claude-Louis Navier

Barras verticales en azul corresponden a publicaciones relevantes previas
Barra vertical en rojo corresponde a la publicación del conjunto de ecuaciones de Saint-Venant

Supuestos de las ecuaciones[editar]

El desarrollo de las ecuaciones requiere de las siguientes suposiciones:[1]

  • La profundidad y la velocidad de flujo solamente varía en la dirección longitudinal del canal.
  • Las variaciones de profundidad y velocidad a lo largo del canal se realizan de manera gradual.
  • El canal es aproximadamente lineal.
  • La pendiente es pequeña.
  • El lecho es fijo, es decir que no hay erosión ni acreción.
  • La resistencia puede ser calculada a partir de los modelos de flujo uniforme permanente.
  • El fluido es incomprensible y de densidad constante.

Sistema de ecuaciones[editar]

El sistema de ecuaciones de Saint-Venant está compuesto por las ecuaciones de continuidad y las ecuaciones de cantidad de movimiento o momentum.[1]

Ecuación de continuidad[editar]

La ecuación de continuidad en forma conservativa puede escribirse en términos del caudal (Q) y del área (A) de la siguiente manera:


\begin{align}
\frac{\partial Q }{\partial x} + \frac{\partial A}{\partial t}  = 0
\end{align}

O de manera no conservativa en términos de la velocidad media longitudinal (V) y la profundidad (y) así:


\begin{align}
V\frac{\partial y }{\partial x} + y\frac{\partial V}{\partial x}  + \frac{\partial y}{\partial t} = 0 
\end{align}

Ecuación de momentum[editar]

La ecuación de momentum en forma conservativa puede escribirse en términos del caudal (Q), área (A), profundidad (y), pendiente del canal (S_0), pendiente de fricción (S_f) y de la gravedad (g) de la siguiente manera:


\begin{align}
\frac{1}{A}\frac{\partial Q}{\partial t} +
\frac{1}{A}\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{Q^2}{A}  \right) +
g\frac{\partial y}{\partial x} - 
g\left( S_0 - S_f \right) = 0
\end{align}

O de manera no conservativa en términos de la velocidad media longitudinal (V) así:


\begin{align}
\frac{\partial V}{\partial t} +
V\frac{\partial V}{\partial x} +
g\frac{\partial y}{\partial x} - 
g\left( S_0 - S_f \right) = 0
\end{align}

Aproximaciones y simplificaciones[editar]

Debido a que en varios contextos la solución de las ecuaciones de Saint-Venant presenta dificultades para encontrar una respuesta satisfactoria o que en ocasiones no es necesario utilizar todos los términos de las ecuaciones existen tres simplificaciones básicas conocidas como «onda dinámica», «onda difusiva» y «onda cinemática», que se diferencian entre sí de acuerdo con los términos de la ecuación de momentum tenidos en cuenta, como se muestra a continuación:

Términos de la ecuación de conservación de momentum[1]
Aproximación 
\frac{1}{A}\frac{\partial Q}{\partial t}

+\frac{1}{A}\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{Q^2}{A}  \right)

+g\frac{\partial y}{\partial x}

-g S_0

+g S_f

= 0
Término de aceleración local Término de aceleración convectiva Término de fuerza de presión Término de fuerza gravitacional Término de fuerza de fricción
Términos inerciales
Onda dinámica Sí  Sí  Sí  Sí  Sí  Sí 
Onda difusiva No No No No Sí  Sí  Sí  Sí 
Onda cinemática No No No No No No Sí  Sí  Sí 

También es posible a partir de la ecuación de momentum al expresar la pendiente de pérdida de energía S_f en función de los otros términos, definiendo tres tipos de flujo diferentes como se muestra a continuación:

S_f en términos de la ecuación de conservación de momentum[1]
Aproximación 
S_f = 

- \frac{1}{g A}\frac{\partial Q}{\partial t}

- \frac{1}{g A}\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{Q^2}{A}  \right)

- \frac{\partial y}{\partial x}

+ S_0
Término de aceleración local Término de aceleración convectiva Término de fuerza de presión Término de fuerza gravitacional
Términos inerciales
Flujo no uniforme, no permanente Sí  Sí  Sí  Sí 
Flujo no uniforme, permanente No No Sí  Sí  Sí 
Flujo uniforme, permanente No No No No No No Sí 

Onda dinámica frente a onda cinemática[editar]

En principio la aproximación de la onda dinámica sería el mejor modelo ya que utiliza todos los términos de la ecuación diferencial de momentum. Sin embargo, en la práctica esto no siempre es cierto pues se ha encontrado que en algunas situaciones las ondas dinámicas se disipan rápidamente dejando como predominantes las ondas cinemáticas, que viajan a menor velocidad. Otros autores han encontrado que para ondas de inundación el comportamiento de la atenuación de la onda en condiciones reales es más semejante al caso de la onda cinemática que al de la onda dinámica ya que la atenuación es nula o muy baja, como se espera de la solución de la aproximación de la onda cinemática y no de la onda dinámica.[5]

Implementaciones en paquetes de software[editar]

La solución de las ecuaciones de Saint-Venant en 1D ha sido implementada en varias aplicaciones de software comunes usualmente a través de métodos numéricos y en particular por diferencias finitas, entre los más reconocidos se pueden mencionar los siguientes:

  • HEC-RAS.
  • MIKE 11. Resuelve el modelo de onda dinámica, pero en el caso de condiciones de flujo supercrítico desprecia el efecto del término convectivo de la ecuación de momentum.[6]
  • EPASWMM. Resuelve el modelo de la onda dinámica completa o la onda cinemática, y el usuario puede elegir si desea despreciar totalmente o atenuar el efecto de los términos incerciales de la ecuación de momentum.
  • Autodesk Storm and Sanitary Analysis.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b c d e f g Chow, Ven Te; Maidment, David R.; Mays, Larry W. (1994). «Capítulo 9: Tránsito distribuido de crecientes». Applied Hydrology [Hidrología Aplicada]. Traducido por Juan G. Saldarriaga. Bogotá: McGraw-Hill Interamericana S.A. ISBN 958-600-171-7. 
  2. «Gallica-Math: Répertoire Bibliographique des Sciences Mathématiques (1894-1912)» (en francés). Consultado el 30 de junio de 2013. 
  3. Chow, Ven Te (1994). Open Channel Hydraulics [Hidráulica de canales abiertos]. Traducido por Juan G. Saldarriaga. Bogotá: McGraw-Hill Interamericana S.A. ISBN 958-600-228-4. 
  4. «Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant» (en inglés). Consultado el 30 de junio de 2013. 
  5. Ponce, Víctor Miguel. «La competencia entre ondas dinámicas y cinemáticas». Consultado el 3 de julio de 2013. 
  6. Universidad del Valle; Corporación Autonoma Regional del Valle del Cauca - CVC. «Fase I, Volumen VIII, Modelación matemática del Río Cauca tramo Salvajina - La Virginia, Capítulo 4: Modelo matemático unidimensional Mike 11» (PDF). Proyecto de modelación del Río Cauca - PMC Tramo Salvajina - La Virginia. Consultado el 3 de julio de 2013.