Ecuación diferencial ordinaria

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es un tipo de ecuación diferencial caracterizada porque la variable dependiente está en función de una variable independiente; este hecho las distingue de las Ecuaciones en derivadas parciales. Estas ecuaciones son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.

Caca de perro

Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.

Introducción

Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es

$\ F(x,y,y',y'',\dots ,y^{(n)})=0$

La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:

$\ a_{n}(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=g(t)$

Donde los $a_{i}$ representan funciones dependientes de t.

Una solución tipo de esta ecuación será una "familia" de curvas o funciones del tipo $x=x(t)$ que verifica la ecuación.

Tipos de EDOs y forma de resolución.

Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).

Ecuaciones diferenciales ordinarias de Primer Orden.

Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

$[L]=\left\{{\begin{array}{*{20}c}{{\frac {dy}{dt}}=f(t,y)}\\{y(t_{0})=y_{0}}\\\end{array}}\right.$

Donde $y(t_{0})=y_{0}$ es la condición inicial.

Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:​

Ecuación de variables separables.

Son EDOs de la forma:

${\frac {dy}{dt}}=f(t,y)$

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

$\ g(y)dy=h(t)dt$

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

$\int g(y)dy=\int h(t)dt$

De donde es posible obtener la solución

Ecuación Exacta.

Véase también: Ecuación diferencial exacta

Una ecuación de la forma:

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!$

se dice exacta si existe una función F que cumpla:

${\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=M$

y

${\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=N.$

Su solución es entonces:

$F(x,y)=C.\,$

• Ecuación de Coeficientes Homogéneos (llamada comúnmente homogénea).

Ecuación Lineal

Véase también: Ecuación diferencial lineal

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

$y'+P(x)y=Q(x)\,$

Y que tienen por solución:

$y(x)=e^{-\int P(x)dx}\left(C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx\right)$

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli.

Véase también: Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

En la cual, si se hace la sustitución $z=y^{1-n}$, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati.

Véase también: Ecuación diferencial de Riccati

Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Riccati cuando presenta la estructura:

$y'(x)+P(x)y^{2}+Q(x)y+R(x)=0\,$

Para resolverla, se debe hacer la sustitución $y=y_{p}+{\frac {1}{z}}$, donde $y_{p}$ es una solución particular cualquiera de la ecuación.

Ecuación de Lagrange.

Véase también: Ecuación diferencial de Lagrange

Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma:

$y=g(y')x+f(y')\,$

Resolviéndose con la sustitución $y'=p$, obteniendose una solución general y una solución particular.

Ecuación de Clairaut.

Véase también: Ecuación diferencial de Clairaut

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut,tiene la forma:

$y=xy'+f(y')\,$

Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con $g(y')=y'$, por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

Ecuación Lineal a coeficientes constantes.

Estas ecuaciones presentan la siguiente estructura:

$\ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}(t)y'+a_{0}y=g(t)$

Donde los términos $a_{i}$ representan constantes $\forall i\in \mathbb {N}$

Bibliografía

• José Ignacio Aranda Iriarte (2007). Apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.

Véase también

• Ecuación diferencial
• Ecuaciones en derivadas parciales
• Teorema de Picard

Enlaces externos

• Soluciones exactas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
• Métodos de resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias