Ecuación diferencial exacta

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En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función tal que:

donde y .

Dado que es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

.

Método de resolución.[editar]

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

  • Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
  • Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x ó N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
  • Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable independiente de g.
  • Se iguala la derivada parcial recién calculada de con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g; de este modo se encontrará la función g.
  • Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

Factor integrante.[editar]

Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial llamada factor integrante, tal que:

sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante solo en función de x.[editar]

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Cabe decir que para que exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que y equivalen a las parciales de estas; y respectivamente).

Factor integrante solo en función de y.[editar]

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Factor integrante solo en función de x+y.[editar]

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Con

Factor integrante solo en función de x·y.[editar]

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Con

Donde M·x

Cabe mencionar que:

Bibliografía[editar]

  • Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8.
  • Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
  • Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.

Véase también.[editar]