Ecuación de Degasperis-Procesi

En física matemática, la ecuación de Degasperis-Procesi es una de las dos únicas ecuaciones con soluciones exactas en la siguiente familia de EDPs de tercer orden, no lineales y dispersivas:

$\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}$

$\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},$

donde $\kappa$ y b son parámetros reales con b=3 para la ecuación de Degasperis-Procesi. Fue descubierto por Degasperis y Procesi en una búsqueda de ecuaciones integrables similares en forma a la ecuación de Camassa-Holm, que es la otra ecuación integrable en esta familia, la correspondiente a b=2; estas dos ecuaciones son los únicos casos integrables que se han verificado utilizando una variedad de pruebas de integrabilidad diferentes.​ Aunque se descubrió únicamente por sus propiedades matemáticas, la ecuación de Degasperis-Procesi con $\kappa >0$ ha demostrado más tarde que desempeña un papel similar en la teoría de las ondas de agua que la ecuación de Camassa-Holm.​

Soluciones de solitón

Entre las soluciones de la ecuación de Degasperis-Procesi (en el caso especial $\kappa =0$) se encuentran las llamadas soluciones multipicos, que son funciones de la forma:

$\displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)e^{-|x-x_{i}(t)|}$

donde las funciones $m_{i}$ and $x_{i}$ satisfacen a:​

${\dot {x}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}m_{j}e^{-|x_{i}-x_{j}|},\qquad {\dot {m}}_{i}=2m_{i}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\,\operatorname {sgn} {(x_{i}-x_{j})}e^{-|x_{i}-x_{j}|}.$

Estas EDOs pueden ser resueltas explícitamente en términos de funciones elementales, usando métodos espectrales inversos.​

Cuando $\kappa >0$ las soluciones de solitón de la ecuación de Degasperis-Procesi son suaves, convergen a picos en el límite cuando $\kappa$ tiende a cero.​

Soluciones discontinuas

La ecuación de Degasperis-Procesi, con $\kappa =0$, es formalmente equivalente a la ley de conservación hiperbólica.

$\partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*{\frac {3u^{2}}{2}}\right]=0,$

donde

• $G(x)=\exp(-|x|)$
• La estrella denota convolución con respecto a x. En esta formulación, admite soluciones débiles con un grado muy bajo de regularidad, incluso discontinuas como las ondas de choque.​

Por contraste, la formulación correspondiente de la ecuación de Camassa-Holm contiene una convolución que involucra a ambos $u^{2}$ y $u_{x}^{2}$, lo que sólo tiene sentido si la u se encuentra en el espacio Sobolev. $H^{1}=W^{1,2}$ con respecto a x. Por el teorema de Sobolev, esto significa en particular que las soluciones débiles de la ecuación de Camassa-Holm deben ser continuas con respecto a x.

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• Datos: Q65160409