Distribución multinomial

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Multinomial
Parámetros n > 0 número de pruebas (entero)
p_1, \ldots, p_k probabilidad de un suceso concreto (\Sigma p_i = 1)
Dominio X_i \in \{0,\dots,n\}
\Sigma X_i = n\!
Función de densidad (pdf) \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
Media E\{X_i\} = np_i
Varianza \textstyle{\mathrm{Var}}(X_i) = n p_i (1-p_i)
\textstyle {\mathrm{Cov}}(X_i,X_j) = - n p_i p_j~~(i\neq j)
Función generadora de momentos (mgf) \biggl( \sum_{i=1}^k p_i e^{t_i} \biggr)^n

En teoría de probabilidad, la distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial.

La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades p_1,  \dots , p_k (tal que p_i \geq 0 para i entre 1 y K y \sum_{i=1}^k p_i = 1); y con n sucesos independientes.

Entonces sea la variable aleatoria  x_i , que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector  x=(x_1, ..., x_k) sigue una distribución multinomial con parámetros n y p, donde  p = (p_1, ..., p_k).

Nótese que en algunos campos las distribuciones categórica y multinomial se encuentran unidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más preciso sería una distribución categórica.

Especificación[editar]

Función de probabilidad[editar]

La función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue:

 \begin{align}
f(x_1,\ldots,x_k;n,p_1,\ldots,p_k) & {} = \Pr(X_1 = x_1\mbox{ y }\dots\mbox{ y }X_k = x_k) \\  \\
& {} = \begin{cases} { \displaystyle {n! \over x_1!\cdots x_k!}p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}}, \quad &
\mbox{cuando } \sum_{i=1}^k x_i=n \\  \\
0 & \mbox{En otros casos,} \end{cases}
\end{align}

Para enteros no negativos x1, ..., xk.

Propiedades[editar]

La esperanza matemática del suceso i observado en n pruebas es:

\operatorname{E}(X_i) = n p_i.\,

La varianza es:

\operatorname{var}(X_i)=np_i(1-p_i).\,

Enlaces externos[editar]

Cálculo de la probabilidad de una distribución multinomial con R