Diferencial total

En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si $z=z(x,y)\,$$z=z(x,y)\,$ una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

$dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\in \Lambda ^{1}(\mathbb {R} ^{2})$$dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\in \Lambda ^{1}(\mathbb {R} ^{2})$

Representación

En cálculo vectorial, la diferencial total de una función $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ se puede representar de la siguiente manera:

$\mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}$$\mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}$

donde f es una función $f=f(x_{1},x_{2},..\;..,x_{n})\,$$f=f(x_{1},x_{2},..\;..,x_{n})\,$.

Derivada total

La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x,y,z) que dependen de otras variables x= x(t), y=y(t), z= z(t). En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot y'+{\frac {\partial f}{\partial z}}\cdot z'$${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot y'+{\frac {\partial f}{\partial z}}\cdot z'$

donde x' es la derivada respecto a t de x, $x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$$x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo $f(t,x,x')$$f(t,x,x')$ que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo $x=x(t),\ x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$$x=x(t),\ x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ Entonces derivar respecto al tiempo queda

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial x'}}\cdot x''$${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial x'}}\cdot x''$

Ejemplo

Una función sencilla:

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=2+3x'+5x''$${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=2+3x'+5x''$

Ejemplo 2

Un ejemplo algo más complejo y más ilustrativo podría ser $f(t,x,x')=t^{3}+{\frac {1}{x}}+\ln(x')$$f(t,x,x')=t^{3}+{\frac {1}{x}}+\ln(x')$ en ese caso, la derivada total es

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=3t^{2}-{\frac {x'}{x^{2}}}+{\frac {x''}{x'}}$${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=3t^{2}-{\frac {x'}{x^{2}}}+{\frac {x''}{x'}}$

Ecuaciones en diferenciales totales

Dadas $P:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ Q:B\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$$P:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ Q:B\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$ dos funciones con $\scriptstyle {\frac {\partial P}{\partial y}}$$\scriptstyle {\frac {\partial P}{\partial y}}$ y $\scriptstyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}$$\scriptstyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}$ continuas en algún subconjunto de A ∩ B, si se supone a este último no vacío.

La ecuación $P(x,y)\,\mathrm {d} x+Q(x,y)\,\mathrm {d} y=0$$P(x,y)\,\mathrm {d} x+Q(x,y)\,\mathrm {d} y=0$ se llama ecuación en diferenciales totales.

Puede demostrarse que el primer miembro de esta ecuación es una diferencial total si y sólo si

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.$${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.$

Véase también

• Ecuación diferencial
• Cálculo diferencial

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Total Derivative». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Piskunov, N. (1984). Cálculo diferencial e integral (3ª edición). Buenos Aires: Suramericana. p. 29.