Criterio de condensación de Cauchy

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En matemáticas, el Criterio de condensación de Cauchy es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre Augustin Louis Cauchy, matemático francés. Sea

una serie monótona de números positivos decrecientes, entonces

converge si y sólo si la serie converge. Por otra parte, en este caso tenemos

Una visión geométrica es que nos aproximamos a la suma de trapecios en cada . Otra explicación es que, como en la analogía entre las sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como

Aquí las series definitivamente convergen para un a > 1, y diverge para a < 1. Cuando a = 1, el criterio de transformación esencialmente da la serie

El logaritmo 'cambia hacia la izquierda'. Así entonces para a = 1, tenemos convergencia para b > 1, divergencia para b < 1. Cuando b = 1 el valor de c es necesario.

Demostración[editar]

Sea f(n) positiva, una secuencia no creciente de números reales. Para simplificar la notación, escribiremos an = f(n). Investigaremos las series . El criterio de condensación sigue de la observación si reunimos los términos de la serie en grupos de longitud , cada uno de estos grupos será menor que a por monotonía. Observemos:

Usamos el hecho que la secuencia an no es creciente, por lo tanto siempre que . La convergencia de la serie original ahora sigue de una directa comparación a esta serie "condensada". Para ver la convergencia de la serie original implica la convergencia de esta última, de manera similar ponemos,

Teniendo una convergencia, nuevamente por comparación directa. Se observa que se obtiene un estimado

.

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Referencias[editar]

  • Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0883857456.