Criterio de condensación de Cauchy

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En matemáticas, el Criterio de condensación de Cauchy es una prueba de convergencia para una serie infinita, que toma su nombre Augustin Louis Cauchy, matemático francés. Sea

\sum{a_n}

una serie monótona de números positivos decrecientes, entonces

\sum_{n=1}^\infty {a_n}

converge si y sólo si la serie \sum_{n=1}^\infty {2^na_{2^n}} converge. Por otra parte, en este caso tenemos

\sum_{n=1}^{\infty}f(n) \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty}f(n).

Una visión geométrica es que nos aproximamos a la suma de trapecios en cada 2^{n}. Otra explicación es que, como en la analogía entre las sumas finitas e integrales, la "condensación" de los términos es análoga a una sustitución de una función exponencial. Esto se hace más evidente en ejemplos como

\ f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b} (\log \log n)^{-c}.

Aquí las series definitivamente convergen para un a > 1, y diverge para a < 1. Cuando a = 1, el criterio de transformación esencialmente da la serie

\sum n^{-b} (\log n)^{-c}

El logaritmo 'cambia hacia la izquierda'. Así entonces para a = 1, tenemos convergencia para b > 1, divergencia para b < 1. Cuando b = 1 el valor de c es necesario.

Demostración[editar]

Sea f(n) positiva, una secuencia no creciente de números reales. Para simplificar la notación, escribiremos an = f(n). Investigaremos las series a_1+a_2+a_3+\cdots. El criterio de condensación sigue de la observación si reunimos los términos de la serie en grupos de longitud 2^{n}, cada uno de estos grupos será menor que 2^{n} a 2^{n} a_{2^{n}} por monotonía. Observemos:

\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n & = a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+\cdots +a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\
 & = a_1+\underbrace{a_2+a_3}_{\leq a_2+a_2}+\underbrace{a_4+a_5+a_6+a_7}_{\leq a_4+a_4+a_4+a_4}+\cdots +\underbrace{a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}}_{\leq a_{2^n}+a_{2^n}+\cdots +a_{2^n}}+\cdots \\
 & \leq a_1 + 2 a_2 + 4 a_4 + \cdots + 2^n a_{2^n} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}.
\end{align}

Usamos el hecho que la secuencia an no es creciente, por lo tanto a_n\leq a_m siempre que n\geq m. La convergencia de la serie original ahora sigue de una directa comparación a esta serie "condensada". Para ver la convergencia de la serie original implica la convergencia de esta última, de manera similar ponemos,

\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} & = \underbrace{a_1+a_2}_{\leq a_1+a_1}+\underbrace{a_2+a_4+a_4+a_4}_{\leq a_2+a_2+a_3+a_3}+\cdots +\underbrace{a_{2^n}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}}_{\leq a_{2^n}+a_{2^n}+a_{(2^n+1)}+a_{(2^n+1)}+\cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}+\cdots \\
 & \leq a_1 + a_1 + a_2 +a_2 + a_3 + a_3 + \cdots + a_n + a_n + \cdots = 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n.
\end{align}

Teniendo una convergencia, nuevamente por comparación directa. Se observa que se obtiene un estimado

\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n.

Enlaces externos[editar]

Referencias[editar]

  • Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. ISBN 0883857456.