Copo de nieve de Koch

Concepción artística de un Copo de Koch. Llamamos copo de Koch a la curva que describe el contorno de la figura.

El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental".​ ​

En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Su construcción más simple se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia partiendo en tres un segmento de recta e insertando dos más en el tercero medio a manera de un triángulo equilátero, el proceso se repite infinidad de veces. La curva de Koch es un caso particular de curva de De Rham.

Construcción

Veamos el proceso que lleva a sustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente. La figura representa las seis primeras etapas de la construcción. La última curva es una buena aproximación de la curva final.

Construcción de la curva de Koch

1a iteración.	2a iteración.	3a iteración.
4a iteración.	5a iteración.	6a iteración.

Tres de estas curvas unidas forman el copo de nieve de Koch:

Representación como sistema Lindenmayer

La curva de Koch se puede expresar en el sistema Lindenmayer

   Alfabeto : F
   Constantes : +, −
   Axioma : F++F++F
   Reglas de producción:
   F → F−F++F−F

Aquí, F significa «continua dibujando», + «gira 60 grados a la derecha, y - «gira 60 grados a la izquierda» (ver gráficas tortuga)

Propiedades

Longitud

Si se considera de nuevo la primera figura, notamos que para pasar de una línea a la siguiente se remplaza tres segmentos por cuatro de igual longitud, o sea que la longitud total es multiplicada por 4/3. Después de n pasos iterativos en la construcción recursiva la longitud de la curva es 3·(4/3)ⁿ, el límite de la sucesión geométrica anterior de razón 4/3 es obviamente infinito, lo que significa que la figura final tiene una longitud infinita (lo que Mandelbrot denomina infinito interno). Esto está relacionado con el hecho de que la curva frontera del copo de Koch no es rectificable y tiene una dimensión fractal d > 1.

Propiedades fractales

Autosimilitud exacta del Copo de nieve de Koch a todas las escalas.

La característica anterior, típica de muchas curvas fractales, añadida al hecho que la curva da la impresión de tener cierto espesor a causa de sus constantes cambios de dirección, sugiere que esta figura, en algún sentido, no es unidimensional. Para ello usaremos una generalización del concepto de dimensión: la dimensión fractal de Hausdorff.

Su dimensión de Hausdorff tiene que estar entre 1, la de una recta, y 2, la del plano. Para hallarla miremos la última curva: Si agrandamos (mediante una homotecia) tres veces la sección A'B' obtenemos exactamente la sección AB. En la curva final, obtendríamos la sección A'C, es decir cuatro veces la sección inicial.

Se sabe que una homotecia de razón tres multiplica las longitudes por 3, las superficies por 3² = 9, los volúmenes por 3³ = 27, y más generalmente, el "volumen" de objeto de dimensión d por 3^d. Entonces tenemos 3^d = 4 para el copo de Koch, lo que da:

$d={\frac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1,26186\dots$

La dimensión de homotecia anterior coincide en este caso con la dimensión fractal de Hausdorff. La configuración opuesta-complementaria de un copo de nieve de Koch o copo de nieve fractal suele ser denominada anticopo de nieve.

Véase también

• Fractal
• Sistema-L (una forma de generar el copo de nieve de Koch)
• Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Copo de nieve de Koch.
• Weisstein, Eric W. «The Koch snowflake». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.