Coordenadas parabólicas

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda
Parabolic coords.svg

Las coordenadas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en qué las líneas de coordenadas son parábolas confocales.

Una versión tridimensional de coordenadas parabólicas está obtenida por la rotación del sistema bidimensional sobre el eje de simetría de las parábolas.

Las coordenadas parabólicas contienes muchas aplicaciones, por ejemplo, el tratamiento del Efecto Duro y la teoría potencial de los bordes.

Coordenadas parabólicas bidimensionales[editar]

Las coordenadas parabólicas bidimensionales para se definen por las ecuaciones:

Las curvas con constante forman parábolas cofocales

volteada para arriba (en sentido ), sucede que las curvas con constantes forman parábolas confocales

volteadas para abajo (en sentido ). Los focos de todas las parábolas se ubican en el origen.

Factores de escala bidimensionales[editar]

Los factores de escalas para coordenadas parabólicas equivalen a:

Para un elemento infinitesimal de área es

Su Laplaciano es:

Otros operadores diferenciales tales como y pueden expresarse para coordenadas (σ, τ) substituyendo los fatores de escala son fórmulas generales para coordenadas ortogonales.

Coordenadas parabólicas tridimensionales[editar]

Superfícies coordenadas das coordenadas parabólicas tridimensionais. O parabolóide vermelho corresponde a τ=2, o parabolóide azul corresponde a σ=1, e o semiplano amarelo corresponde a φ =- 60 °. As três superfícies se intersectam no ponto P (mostrado como uma esfera preta) de coordenadas cartesianas aproximadamente iguais a (1,0; -1,732; 1,5).

Las coordenadas parabólicas bidimensionales forman la base para dos conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales. Las coordenadas cilíndricas parabólicas son producidas por projección en la dirección .

La rotación sobre el eje de simetría de las parábolas produce un conjunto de paraboloides confocales, formando un sistema de coordenadas que también es conocido como "coordenadas parabólicas"

donde las parábolas están alineadas con el eje , sobre el cual la rotación ha sido realizada. Así, el ángulo azimutal es definido por

Las superficies cuyo es constante forman paraboloides confocales

Con concavidades hacia arriba (o sea, en sentido ), mientras que las superficies con constante forman paraboloides confocales

de concavidad hacia abajo (o sea, en sentido ). Los focos de todos estos paraboloides están localizados en el origen.

El tensor métrico de Riemann associado a este sistema de coordenadas es

Fatores de escala tridimensionales[editar]

Los tres factores de escala tridimensionales son:

Nótese que los factores de escala y son los mismos del caso bidimensional. El elemento infinitesimal de volumen es entonces

Y el laplaciano es dado por

Otros operadores diferenciales tales como y pueden ser expresados en coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales encontradas en coordenadas ortogonales.

Fórmula alternativa[editar]

La conversión de coordenadas cartesianas para las parabólicas se realiza a través de la siguiente transformación:

El Jacobiano de la transformación dada coordina términos infinitesimales como

en condiciones

 y 

Si φ = 0, a continuación, se obtiene una sección transversal; coordenadas limitado al plano

xz:

Sea η=c (una constante), entonces

Esta es una parabola con foco en el origen, para cualquier valor c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.

Se ξ=c entonces

Esta es una parábola con foco en el origen, para cualquier valor de 'c'. Su eje de simetría es vertical y su concavidad es para abajo.

Ahora considere cualquier parábola η = c para arriba y toda parábola ξ = b hacia abajo. Es deseable encontrar su intersección:

se reanuda,

evidenciando ,

se cancelan los factores comunes de ambos lados

tomando su raíz cuadrada,

x es la media geométrica de b e c. La abscisala intersección ha sido encontrado. Vamos a encontrar ordenada. Substituyendo el valor de x en la ecuación parábola volteada para arriba:

en seguida, substituyendo el valor de x la ecuación de la parábola hacia abajo:

zc = zb, con debería ser. Por lo tanto, el punto de intersección es

Dibuje un par de tangentes a través del punto P, cada tangente en cada parábola. La línea tangente por el punto

P la parábola superior tiene inclinación:

La recta tangente a través del punto P la parábola inferior tiene inclinación:

El producto de las dos vertientes es

El producto de las pendientes es una "pendiente negativa" porque las rectas son perpendiculares. Esto es cierto para cualquier par de parábolas con huecos en direcciones opuestas.

Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semiplano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.

Por lo tanto, un par de ξ y η coordenadas especificar un solo punto en el semiplano. Al hacerlo φ entre 0 y 2π, el semiplano vuelve al punto (alrededor del eje "z", que es la bisagra): El formulario de paraboloides. OUn par de paraboloides opuestas forman círculo, y el valor de φ especifica un semiplano que corta a través de la intersección de círculo en un solo punto. Las coordenadas cartesianas de los puntos son [Menzel, p. 139]:

Ve también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 660. ISBN 0-07-043316-X. 
  • Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 185–186. 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 180. ASIN B0000CKZX7. 
  • Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 96. 
  • Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  Mismo cuando Morse & Feshbach (1953), sustituyendo uk para ξk.
  • Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print edición). New York: Springer-Verlag. pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2. 

Enlaces externos[editar]