Círculo de Mohr

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Círuclos de Mohr para representar un estado de tensión tridimensional en un punto.

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

Circunferencia de Mohr para esfuerzos[editar]

Caso bidimensional[editar]

Circunferencia de Mohr para un estado de tensión bidimensional.

En dos dimensiones,la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

\begin{cases}
\mbox{medida 1} & (\sigma_x, -\tau) \\
\mbox{medida 2} & (\sigma_y, \tau) \end{cases}

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal \left( \sigma \right) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial \left( \tau \right) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

  • Centro del círculo de Mohr:

 C:= (\sigma\ _\mbox{med},0) = \left(\frac {\sigma\ _x + \sigma\ _y} {2}, 0\right)

  • Radio de la circunferencia de Mohr:

r:= \sqrt{ \left ( \frac { \sigma\ _x - \sigma\ _y } { 2 } \right ) ^2 + \tau\ ^2_{xy} }

Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

\sigma_\mbox{max} = \sigma_\mbox{med} + r \qquad
\sigma_\mbox{min} = \sigma_\mbox{med} - r

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

\mathbf{T}\vert_{x,y} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau \\
\tau & \sigma_y \end{bmatrix}

Caso tridimensional[editar]

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

\mathbf{T}\vert_{x,y,z} =
\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx}& \sigma_y  & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix}

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

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Circunferencia de Mohr para momentos de inercia[editar]

Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

  • Centro de la circunferencia:

 C:= (I _{med},0) = \left (\frac {I_x + I_y} {2}, 0 \right)

  • Radio de la circunferencia:

 r:= \sqrt{ \left( \frac {I _x - I _y}{2} \right)^2 + I ^2_{xy}}

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