Modelo de Black-Scholes

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El modelo de Black-Scholes o ecuación de Black-Scholes es una ecuación usada en matemática financiera para determinar el precio de determinados activos financieros. Dicha ecuación se basa ampliamente en la teoría de procesos estocásticos en particular modela variaciones de precios como un proceso de Wiener. En 1973, Robert C. Merton publicó "Theory of Rational Option Pricing", en él hacía referencia a un modelo matemático desarrollado por Fisher Black y Myron Scholes.

A este modelo lo denominó Black-Scholes y fue empleado para estimar el valor actual de una opción europea para la compra (Call), o venta (Put), de acciones en una fecha futura. Posteriormente el modelo se amplió para opciones sobre acciones que producen dividendos, y luego se adoptó para opciones europeas, americanas, y mercado monetario. Los modelos de valoración de opciones son también aplicados actualmente a la valoración de activos intangibles, tales como patentes.

El modelo concluye que:

 C = S N(d_i) - Ke^{-rdT}N(d_z) \,
 P = K e^{-rdT}N(-d_z) - S N(-d_i) \,


Donde:


 d_i = \frac{\ln(S/K) + (rd -re + \sigma^2/2) T}{\sigma\sqrt{T}}
 d_z = d_i - \sigma\sqrt{T}.


Definiendo:

  • C es el valor de una opción de compra, opción europea.
  • P es el valor de una opción de venta, opción europea.
  • S es la tasa a la vista de la moneda que constituye el objeto de la opción.
  • K es el precio marcado en la opción (Strike price).
  • T es el tiempo expresado en años que aún faltan por transcurrir en la opción.
  • rd es la tasa de interés doméstica.
  • re es la tasa de interés extranjera.
  • σ Es la desviación típica de los cambios proporcionales en las tasas de cambio.
  • N es la función de distribución acumulativa de la distribución normal.
  • N (di) y N (dz) son los valores de las probabilidades de los valores de di y dz tomadas de las tablas de la distribución normal.

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