Black-Scholes

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En 1973, Robert C. Merton publicó "Theory of Rational Option Pricing", en él hacía referencia a un modelo matemático desarrollado por Fisher Black y Myron Scholes.

A este modelo lo denominó Black-Scholes y fue empleado para estimar el valor actual de una opción europea para la compra (Call), o venta (Put), de acciones en una fecha futura. Posteriormente el modelo se amplió para opciones sobre acciones que producen dividendos, y luego se adoptó para opciones europeas, americanas, y mercado monetario. Los modelos de valoración de opciones son también aplicados actualmente a la valoración de activos intangibles, tales como patentes.

El modelo concluye que:

 C = S N(d_i) - Ke^{-rdT}N(d_z) \,
 P = K e^{-rdT}N(-d_z) - S N(-d_i) \,


Donde:


 d_i = \frac{\ln(S/K) + (rd -re + \sigma^2/2) T}{\sigma\sqrt{T}}
 d_z = d_i - \sigma\sqrt{T}.


Definiendo:

  • C es el valor de una opción de compra, opción europea.
  • P es el valor de una opción de venta, opción europea.
  • S es la tasa a la vista de la moneda que constituye el objeto de la opción.
  • K es el precio marcado en la opción (Strike price).
  • T es el tiempo expresado en años que aun faltan por transcurrir en la opción.
  • rd es la tasa de interés doméstica.
  • re es la tasa de interés extranjera.
  • σ Es la desviación típica de los cambios proporcionales en las tasas de cambio.
  • N es la función de distribución acumulativa de la distribución normal.
  • N (di) y N (dz) son los valores de las probabilidades de los valores de di y dz tomadas de las tablas de la distribución normal.

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