Base negativa

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Es posible utilizar una base negativa para construir un sistema numérico posicional no estándar. Al igual que otros sistemas de valor dependientes de la posición, cada posición corresponde a múltiplos de una potencia llamada base; pero en este caso la base es negativa, es decir, la base b es igual a −r para algún número natural r (r ≥ 2).

Los sistemas de base negativa pueden acomodar todos los números como cualquier sistema estándar de valores dependientes de la posición, pero los números positivos y negativos se representan sin la necesidad de un signo negativo adicional, lo que le otorga ciertas ventajas a este sistema respecto de los que utilizan bases positivas en los cuales los números negativos se representan con una cifra adicional para el signo. Sin embargo esta ventaja se ve atenuada por una complejidad mayor para realizar operaciones aritméticas.

Las denominaciones comunes para sistemas numerales posicionales de base negativa se forman anteponiendo el prefijo nega- al nombre correspondiente del sistema numeral en base positiva; por ejemplo, negadecimal (base −10) corresponde a decimal (base 10), negabinario (base −2) a binario (base 2), y negaternario (base −3) a ternario (base 3).[1][2]

Ejemplos[editar]

  • 14 en base 10, sería 10010 en base 2 negativa ya que: 1(-2)⁴+0(-2)³+0(-2)²+1(-2)¹+0(-2)⁰=16-2=14
  • -200 en base 10, sería 2200 en base 5 negativa ya que: 2(-5)³+2(-5)²+0(-5)¹+0(-5)⁰=-250+50=-200

Si se analiza el significado de la expresión 12,243 en el sistema negadecimal, cuya base b es −10:

Múltiplos de
(−10)4 = 10,000 (−10)3 = −1,000 (−10)2 = 100 (−10)1 = −10 (−10)0 = 1
1 2 2 4 3

Dado que 10,000 + (−2,000) + 200 + (−40) + 3 = 8,163, la expresión 12,243-10 en notación negadecimal es equivalente a 8,16310en notación decimal, mientras que −8,16310 en decimal se indica como 9,977-10 en negadecimal.

Historia[editar]

En 1885, Vittorio Grünwald en su obra Giornale di Matematiche di Battaglini, propone el uso de bases numéricas negativas. En su trabajo Grünwald propuso algoritmos para sumar, restar, multiplicar, dividir, obtener raíces, y realizar pruebas de divisibilidad y conversiones. Posteriormente las bases negativas fueron redescubiertas de forma independiente por A. J. Kempner en 1936 y Zdzisław Pawlak y A. Wakulicz en 1959.

La base binaria negativa fue implementada en el ordenador polaco BINEG (y UMC), construido entre 1957 y 1959, basado en las ideas de Z. Pawlak Y A. Lazarkiewicz Del Instituto Matemático en Varsovia.

Notación y uso[editar]

Si se identifica a la base del sistema numérico como −r, entonces es posible escribir cada número entero como:

Donde cada dígito dk es un entero de 0 a r - 1 y el dígito principal dn es > 0 (a no ser que n=0). La base −r expansión de a entonces queda definida por los dígitos dn dn-1 … d1 d0.

Algunos números tienen la misma representación en base −r que en base r. Por ejemplo, los números del 100 a 109 tiene las mismas representaciones en base decimal y decimal negativo.

Por ejemplo,

y se representa como 10001 en binario y 10001 en negabinario.

La siguiente tabla ilustra las expansiones de algunos números en bases positivas y negativas:

Decimal Negadecimal Binaria Negabinaria Ternaria Negaternaria Ternaria balanceada
−15 25 −1111 110001 −120 1220 −110
−5 15 −101 1111 −12 21 −11
−4 16 −100 1100 −11 22 −−
−3 17 −11 1101 −10 10 −0
−2 18 −10 10 −2 11 −1
−1 19 −1 11 −1 12
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
2 2 10 110 2 2 1−
3 3 11 111 10 120 10
4 4 100 100 11 121 11
5 5 101 101 12 122 1−−
6 6 110 11010 20 110 1−0
7 7 111 11011 21 111 1−1
8 8 1000 11000 22 112 10−
9 9 1001 11001 100 100 100
10 190 1010 11110 101 101 101
11 191 1011 11111 102 102 11−
12 192 1100 11100 110 220 110
13 193 1101 11101 111 221 111
14 194 1110 10010 112 222 1−−−
15 195 1111 10011 120 210 1−−0
16 196 10000 10000 121 211 1−−1
17 197 10001 10001 122 212 1−0−

Es de notar que las expansiones de enteros negativos en base −r poseen un número par de dígitos, mientras que las expansiones en base −r de enteros no negativos poseen un número impar de dígitos.

Cálculo[editar]

La base de la expansión de un número puede ser encontrada mediante división repetida por −r, los residuos no negativos y concatenándolos empezando con el último. Note que si a / b = c, y residuo d, entonces bc + d = a y por tanto d = a - bc. Para llegar en la conversión correcta, el valor para c tiene que ser escogido tal que d es positivo y mínimo (menor que b).

Referencias[editar]

  1. Knuth, Donald (1998), The Art of Computer Programming, Volume 2 (3rd edición), pp. 204-205 . Knuth mentions both negabinary and negadecimal.
  2. The negaternary system is discussed briefly in Petkovšek, Marko (1990), «Ambiguous numbers are dense», The American Mathematical Monthly 97 (5): 408-411, ISSN 0002-9890, MR 1048915, doi:10.2307/2324393 .

Bibliografía[editar]

  • Warren Jr., Henry S. (2013). Hacker's Delight (2 edición). Addison Wesley - Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-84268-8. 0-321-84268-5. 
  • Vittorio Grünwald, Giornale di Matematiche di Battaglini (1885), 203-221, 367
  • A. J. Kempner. (1936), 610-617
  • Z. Pawlek et A. Wakulicz, Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Classe III, 5 (1957), 233-236; Série des sciences techniques 7 (1959), 713-721
  • L. Wadel IRE Transactions EC-6 1957, 123
  • N. M. Blachman, Communications of the ACM (1961), 257
  • IEEE Transactions, 1963, 274-276
  • Computer Design Mai 1967, 52-63
  • R. W. Marczynski, Annotated History of Computing, 1980, 37-48