Base de entornos

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En Topología, un entorno de un punto es un conjunto que contiene un abierto al que pertenece el punto. Es decir, si (X,T) es un espacio topológico, a \in X y V \subseteq X, diremos que V es entorno de a si existe un G \in T (es decir, G es un conjunto abierto en X) de forma que a \in G \subseteq V.

Dado un punto a \in X, una base de entornos del punto es una familia de entornos de a de manera que para cada entorno del punto, existe uno básico contenido. Es decir, \beta (a) es base de entornos de a si y sólo si:

 \forall V \in Ent(a), \exist U \in  \beta(a) : U \subseteq V


Clases de bases de entornos[editar]

Sistema fundamental de vecindades[editar]

En el conjunto R de los reales, con la topología usual, los intervalos abiertos centrados en el punto x originan todas las vecindades de x de esta manera: toda vecindad de x contiene un intervalo abierto centrado en x. Se dirá que los intervalos abiertos centrados en x son un sistema fundamental de vecindades del punto x. Generalizando esta idea, se da la siguiente

Definición[editar]

Sean X un espacio topológico y x un punto de él. Una subfamila Bc(x) de la familia Vc(x) de vecindades de x, es un sistema fundamental de vecindades de x, si para vecindad de Vc(x) existe una vecindad U de Bc(x) tal que U sea subconjunto de V. Se denomina a los elementos de Bc(x) vecindades básicas de x.[1]

Ejemplos[editar]

  • Si X es un espacio topológico discreto x un punto de X, entonces el conjunto unitario {x} es un sistema fundamental de x.
  • Si X es el plano con la topología común de las bolas abiertas, justamente la colección de todas las bolas centradas en el punto x es un sistema fundamental de x. Asimismo la colección de todas las bolas abiertas con radio racional con centro en x.
  • Para el conjunto R, con la topología del límite inferior,

B[ ) = {[a, b): a, b ∈ R con a < b}, forman un sistema fundamental de vecindades para a.

Notas y referencias[editar]

  1. Clara Neira. Notas de topología

Véase también[editar]