Base de entornos

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En Topología, un entorno de un punto es un conjunto que contiene un abierto al que pertenece el punto. Es decir, si es un espacio topológico, y , diremos que es entorno de si existe un (es decir, es un conjunto abierto en ) de forma que .

Dado un punto , una base de entornos del punto es una familia de entornos de de manera que para cada entorno del punto, existe uno básico contenido. Es decir, es base de entornos de si y sólo si:


Clases de bases de entornos[editar]

Sistema fundamental de vecindades[editar]

En el conjunto R de los reales, con la topología usual, los intervalos abiertos centrados en el punto x originan todas las vecindades de x de esta manera: toda vecindad de x contiene un intervalo abierto centrado en x. Se dirá que los intervalos abiertos centrados en x son un sistema fundamental de vecindades del punto x. Generalizando esta idea, se da la siguiente

Definición[editar]

Sean X un espacio topológico y x un punto de él. Una subfamila Bc(x) de la familia Vc(x) de vecindades de x, es un sistema fundamental de vecindades de x, si para vecindad de Vc(x) existe una vecindad U de Bc(x) tal que U sea subconjunto de V. Se denomina a los elementos de Bc(x) vecindades básicas de x.[1]

Ejemplos[editar]

  • Si X es un espacio topológico discreto x un punto de X, entonces el conjunto unitario {x} es un sistema fundamental de x.
  • Si X es el plano con la topología común de las bolas abiertas, justamente la colección de todas las bolas centradas en el punto x es un sistema fundamental de x. Asimismo la colección de todas las bolas abiertas con radio racional con centro en x.
  • Para el conjunto R, con la topología del límite inferior,

B[ ) = {[a, b): a, b ∈ R con a < b}, forman un sistema fundamental de vecindades para a.

Notas y referencias[editar]

  1. Clara Neira. Notas de topología

Véase también[editar]